대구혁신도시 중등수학과외

중3 제곱근과 실수 수업에서 학생과 함께 대표 문항을 펼쳤다. 문제는 √[(−7)²]와 −√49를 각각 계산하라는 것이었다. 학생은 첫 줄에 “√[(−7)²]=−7”이라고 적었다. 교사는 문제의 조건과 학생의 답안을 나란히 놓고 물었다. “근호의 값이 음수가 될 수 있을까?” 대구혁신도시중등수학과외 수업에서는 정답을 곧바로 알려 주기보다, 학생이 근호의 범위와 제곱 뒤의 값을 어떻게 판단했는지 계산 줄과 말로 함께 확인한다.

−7을 그대로 남긴 첫 판단 확인하기

학생은 −7을 제곱해야 한다는 사실 자체는 식에 남겨 두었다. 따라서 처음부터 모든 과정을 모른다고 단정하지 않고, 어디에서 판단이 달라졌는지를 좁혔다. 교사가 질문을 다시 하자 학생은 “제곱하면 −7이 없어지지 않고 그대로 나오는 것 같다”고 말했다. 이 답변과 실제 식을 함께 보며, 이번 오답의 첫 원인 후보를 근호와 제곱을 부호째 지운 것으로 확인했다. 다만 이 한 번의 오답만으로 학생의 원인을 확정하지 않고, 같은 원리가 다른 위치의 마이너스에도 적용되는지 이어서 묻기로 했다.

√(a²)에서 선택하는 값

교사는 설명 범위를 한 단계로 제한했다. “√(a²)는 a의 절댓값이야. a가 음수일 때는 부호가 달라져.”라고 말한 뒤, 계산의 출발점만 보여 주었다. (−7)²=49이므로 첫 식은 √49로 바뀐다. 여기서 교사가 둘째 식까지 대신 완성하지 않고 “49의 제곱근 중 근호가 뜻하는 값은 어느 쪽이지?”라고 물었다. 학생은 제곱근 기호가 음이 아닌 값을 선택한다는 조건을 확인한 뒤, 직접 √49=7을 적었다. 제곱한 수가 49라는 사실과 근호의 결과가 음이 아니어야 한다는 조건을 분리해 기록한 점이 수정의 핵심이었다.

두 식의 부호를 나누어 다시 쓰기

학생은 수정 풀이를 다음처럼 완성했다. √49=7이므로 첫 식은 7이고, 둘째 식은 −√49=−7이다. 처음 풀이에서는 −7을 근호 안의 수처럼 그대로 남겼지만, 수정 풀이에서는 먼저 제곱하여 49를 만들고, 그다음 근호가 선택하는 음이 아닌 값을 정했다. 둘째 식의 마이너스는 근호 밖에 있으므로 √49를 계산한 뒤 앞에 붙여야 한다. 같은 숫자 −7이 등장해도 마이너스의 위치에 따라 역할이 달라진다는 점을 학생이 식으로 구분하게 했다.

검산은 방금 한 계산을 그대로 반복하지 않도록 했다. 첫 답 7은 7²=49이므로 제곱 결과와 일치하고, 근호의 값으로 음이 아닌 조건도 만족한다. 둘째 답 −7은 첫 번째 결과 7의 반대수이므로 식 앞의 마이너스와 맞는다. 따라서 두 답은 각각 7과 −7이며, 하나는 근호가 선택한 값이고 다른 하나는 그 값에 근호 밖의 부호를 적용한 결과다.

근호 안과 밖에 놓인 마이너스 비교

이제 조건을 바꾼 문제를 제시했다. √[−(−3)²]가 실수인지, −√[(−3)²]의 값은 얼마인지 구하라는 문항이다. 먼저 (−3)²=9이므로 첫 번째 근호 안은 −9가 된다. 음수의 제곱근은 실수 범위에서 없으므로 √[−(−3)²]는 실수 값이 없다. 반면 두 번째 식은 −√9=−3이다. 새 문제에서는 마이너스 기호가 근호 안과 밖에 각각 배치되었고, 근호가 적용되는 범위를 먼저 확인해야 한다. 근호 안의 음수는 실수 계산 가능 여부를 바꾸지만, 근호 밖의 음수는 제곱근을 계산한 뒤 결과의 부호를 바꾼다.

다음 문제에서는 대표 문항과 조건만 남기고 기존 오답과 수정 풀이, 정답은 가린다. 학생이 먼저 제곱한 뒤 음이 아닌 제곱근을 선택하고, “√(a²)는 a의 절댓값이므로 a가 음수일 때 부호가 달라진다”는 이유까지 도움 없이 말하는지 확인한다. 이어 근호 안과 밖에 마이너스가 놓인 두 식에서 근호의 범위를 표시하고, 실수 여부와 값을 각각 적게 한다. 교사는 정답만 맞혔는지가 아니라 이 판단 근거와 식의 순서를 스스로 남겼는지 확인한다.