팔공산 중등수학과외

24는 비의 어느 항을 나타낼까

학생은 닮음과 둘레 문제를 다시 풀기 전에 교사의 질문을 받는다. “24는 A의 둘레일까, 두 도형의 둘레를 합한 값일까?” 이 질문은 계산보다 먼저 주어진 양의 위치를 확인해야 하는 이유를 드러낸다. 팔공산중등수학과외 수업에서는 학생이 문제에 적힌 양을 닮음비의 어느 항과 연결하는지 먼저 말하게 한다. 문제의 조건은 닮은 두 다각형 A, B의 닮음비가 A:B=3:5이고, A의 둘레가 24cm라는 것이다. 따라서 24는 두 도형의 합이 아니라 닮음비에서 3부분에 해당하는 A의 둘레다.

학생은 처음에 “B 둘레=24×5/8=15cm”라고 적었다. 3과 5를 더한 전체 8을 분모로 삼은 계산이다. 이때 교사는 곧바로 정답을 말하지 않고 “24가 비 전체에 대응하니, 아니면 A에 대응하니?”라고 짧게 묻는다. 학생이 24를 A의 둘레라고 말하면서도 8을 분모로 사용한다면, 기준은 찾았지만 비율의 적용 과정에서 판단이 달라진 것으로 볼 수 있다. 반대로 24가 두 도형의 둘레 합이라고 답한다면 닮음비에서 주어진 양의 위치를 다시 확인해야 한다. 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, 학생의 설명과 다음 식을 함께 확인하는 이유다.

3부분인 A에서 5부분인 B로 옮기기

교사는 필요한 만큼만 설명한다. “3부분인 A가 24cm이므로 한 부분은 얼마일까?” 학생이 24÷3=8cm이라고 직접 적으면, 교사는 다음 단계의 계산을 대신하지 않는다. 학생은 주어진 양이 비의 어느 항인지 다시 표시한 뒤 B가 5부분이라는 점을 연결한다. 그러면 B의 둘레는 한 부분의 길이 8cm에 5를 곱한 값이므로 8×5=40cm가 된다.

학생이 수정한 풀이는 “A가 3부분이고 24cm이므로, 한 부분은 24÷3=8cm이다. B는 5부분이므로 8×5=40cm이다.”이다. 같은 내용을 닮음의 확대 비율로 나타내면 B의 모든 대응변은 A의 5/3배이고, 둘레도 같은 비율로 커진다. 따라서 24×5/3=40cm이다. 처음 풀이에서는 3과 5를 합한 8을 기준으로 삼았지만, 수정 풀이에서는 A에 해당하는 3을 기준으로 삼았다는 차이가 분명하다. 팔공산중등수학과외 수업에서 확인할 핵심은 계산 속도가 아니라, 주어진 24가 비의 어느 항에 놓이는지 먼저 확인한 뒤 비율을 적용하는 행동이다.

다른 방식으로 40cm를 확인하기

교사는 학생에게 같은 곱셈을 반복하지 않는 검산을 요청한다. 학생은 두 둘레를 비로 다시 비교하여 24:40=3:5라고 적는다. 또한 닮음비가 3:5이면 A의 각 대응변을 5/3배한 합이 B의 둘레가 되므로, 대응변들의 합을 먼저 더하더라도 둘레 전체를 5/3배한 결과와 같다고 설명한다. 이 검산은 24×5/3이라는 본계산을 그대로 다시 쓰는 대신, 정답 40cm가 문제의 닮음비와 맞는지 확인한다.

둘레 비에서 닮음비를 복원하는 적용

새 문제에서는 닮음비가 직접 주어지지 않는다. 닮은 두 도형의 둘레가 각각 24cm와 40cm이고, 작은 도형의 한 변이 9cm일 때 대응하는 큰 도형의 변을 구한다. 학생은 먼저 둘레의 순서를 확인하여 길이비를 24:40=3:5로 복원해야 한다. 대표 문제처럼 모든 대응길이에 같은 비를 적용한다는 원리는 유지되지만, 이번에는 주어진 둘레에서 닮음비를 스스로 찾아야 한다.

학생은 작은 도형의 한 변 9cm가 3부분에 해당한다고 보고, 큰 도형의 대응변을 9×5/3=15cm로 계산한다. 마지막으로 9:15=3:5=24:40을 확인하여 길이비와 둘레비가 일치하는지 점검한다. 다음 수업에서 같은 대표 문제의 오답과 수정 풀이를 가린 채 다시 제시하면, 학생이 먼저 주어진 양이 비의 어느 항인지 표시하고 한 부분을 구한 뒤 다음 식을 스스로 이어 가는지 관찰한다. 새 적용 문제에서도 같은 기준을 도움 없이 선택하는지, 필요할 때 교사는 “3부분인 A가 24이므로 한 부분은 8cm”라는 관계만 되짚고 학생이 다음 줄을 결정하는지 확인한다.