율암동 중등수학과외

“마이너스가 두 개라서 4×6=24”라는 첫 답안

중1 학생에게 다음 문제를 제시했다. 4−(−6)의 값을 구하고, 덧셈으로 바꾸어 설명하라. 학생은 문제를 읽은 뒤 “마이너스가 두 개라서 4×6=24”라고 적었다. 이 답안에는 숫자 4와 6을 확인한 흔적은 있지만, 문제에 있는 연산 기호를 곱셈으로 바꾼 판단이 들어 있다. 따라서 바로 계산 실수라고 결론 내리지 않고, 학생이 뺄셈과 곱셈을 어떻게 구분했는지 먼저 확인했다.

교사는 “원래 연산이 곱셈인가요, 뺄셈인가요?”라고 짧게 물었다. 학생이 문제의 가운데 기호가 뺄셈이라고 말하는지, 또는 괄호 안의 음수와 바깥의 뺄셈 기호를 보고 곱셈식이라고 여전히 설명하는지를 관찰했다. 이 질문에 답하지 못한다면 정수의 부호보다 연산의 종류를 먼저 다시 확인해야 한다. 반대로 뺄셈이라고 정확히 말하면서도 24를 적었다면, 이후 계산 과정을 한 줄씩 살펴보며 결과가 달라진 지점을 좁힌다. 오답 하나만으로 학생의 원인을 단정하지 않는 이유가 여기에 있다.

곱셈식이 아니라 뺄셈을 덧셈으로 바꾸기

학생이 원래 연산이 뺄셈임을 확인한 뒤, 교사는 풀이 전체를 대신 써 주지 않고 한 관계만 제시했다. “두 부호가 보이더라도 곱셈식을 만들 수는 없어요. 음수를 빼는 것은 그 수의 반대수를 더하는 것이므로, 4−(−6)=4+(+6)으로 옮겨 보세요.”라고 설명했다. 이때 핵심은 마이너스 두 개를 곱셈의 부호처럼 세는 것이 아니라, 뺄셈을 덧셈으로 바꾸면서 빼는 수의 반대수를 사용하는 것이다.

율암동중등수학과외 수업에서는 학생이 교사의 다음 계산을 받아 적는 데서 멈추지 않고, 부호를 정리해도 덧셈 관계가 그대로 유지되는지 직접 말하게 했다. 학생은 원래 식의 연산이 뺄셈이라는 표시를 남긴 뒤, “−(−6)은 음수 6을 빼는 것이므로 +6을 더한다”고 설명하며 4−(−6)=4+6=10을 다시 적었다. 처음의 4×6=24와 비교하면 숫자 4와 6을 곱하던 방식에서, 뺄셈을 덧셈으로 바꾸고 반대수를 더하는 방식으로 판단이 달라졌다.

10의 답을 역연산으로 확인하고 조건을 바꾸기

수정한 식의 답이 10인지 확인할 때는 같은 덧셈을 반복하지 않았다. 뺄셈의 결과에 뺀 수를 다시 더해 원래 수가 되는지 살폈다. 10+(−6)=4이므로, 4에서 −6을 뺀 결과가 10이라는 결론을 역연산으로 확인할 수 있다. 학생은 이 검산을 통해 답만 10으로 고치는 것이 아니라, 뺀 수를 다시 더하면 처음 수로 돌아간다는 관계를 식으로 남겼다.

이제 처음 수가 음수인 새 조건을 제시했다. −2−5와 −2−(−5)를 각각 계산하고, 두 값이 다른 이유를 설명하는 문제다. 학생은 두 식에서 처음 수 −2는 같지만, 빼는 수의 부호가 다르다는 점을 먼저 비교해야 한다. 뺄셈을 덧셈으로 바꾸면서 빼는 수만 반대수로 바꾸면, −2−5=−2+(−5)=−7이고 −2−(−5)=−2+(+5)=3이다. 첫 식의 뺄셈 대상은 5의 반대수인 −5가 되고, 둘째 식에서는 −5의 반대수인 +5가 된다.

새 결과도 역연산으로 확인한다. −7+5=−2이므로 −2−5의 결과가 −7인지 점검할 수 있고, 3+(−5)=−2이므로 −2−(−5)의 결과가 3인지 확인할 수 있다. 두 식의 값이 다른 까닭은 처음 수가 달라서가 아니라, 빼는 수의 부호와 그 반대수가 달라졌기 때문이다.

다음 수업에서는 대표 문제의 조건과 문항은 그대로 제시하되, 학생의 오답과 수정 풀이, 정답은 가린 상태에서 다시 시작하게 한다. 학생이 먼저 원래 연산이 뺄셈임을 말하고, 두 부호를 곱셈식으로 만들지 않은 채 뺄셈을 덧셈으로 옮기는지 확인한다. 이어 새 문제에서도 빼는 수만 반대수로 바꾸는 기준을 스스로 선택하고, −7+5=−2 또는 3+(−5)=−2와 같은 검산 식까지 남기는지를 교사가 근거로 기록한다.