구성동 중등수학과외

학생은 평평한 바닥에서 벽까지의 수평거리가 20m이고 관측자의 눈높이가 1.5m이며, 눈에서 벽 꼭대기를 올려본 각이 수평선과 30°인 문제를 풀었다. 조건에는 tan30°=√3/3이 주어져 있었다. 학생의 답안에는 “높이=(20+1.5)√3/3m.”라고 적혀 있었다. 계산식을 바로 고치기 전에 교사는 “1.5m가 가로 길이인가요, 세로 길이인가요?”라고 물었다. 이 질문에 학생이 어떤 기준으로 답하는지 먼저 확인했다.

20m와 1.5m의 방향을 구분하는 질문

학생은 20m는 벽까지 바닥을 따라 잰 거리이고, 1.5m는 바닥에서 눈까지의 높이라고 말했다. 그러면서도 두 값을 더한 이유는 문제에 나온 길이를 하나의 계산식에 모두 넣어야 한다고 생각했기 때문이라고 설명했다. 교사는 이 답을 듣고 단순히 삼각비를 모른다고 판단하지 않았다. 길이의 방향은 구분하고 있지만, 삼각형에서 어떤 두 변을 비교해야 하는지 정하는 단계에서 선택이 바뀌었을 가능성을 확인했다.

구성동중등수학과외 수업에서는 학생이 적은 식과 문제 조건을 나란히 놓고, 처음 달라진 판단이 어느 부분에서 생겼는지 말하게 했다. 학생이 “20m는 수평거리, 1.5m는 수직거리”라고 기준을 분명히 말하면 계산 과정을 살피고, 이 구분을 하지 못하면 삼각형의 기준을 다시 표시한다. 이 학생에게는 벽, 바닥, 눈높이를 각각 다른 방향의 선분으로 그려 보게 했다.

눈보다 높은 부분 h를 먼저 구하기

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고, 눈에서 벽 꼭대기까지의 높이를 h라고 표시한 뒤 한 단계만 시범으로 보였다. 눈에서 벽 꼭대기까지의 수직 높이와 수평거리 20m가 직각삼각형의 두 변이므로 h/20=√3/3이다. 따라서 h=20√3/3m이다. 여기서 h는 벽 전체 높이가 아니라 눈보다 높은 부분이다.

학생은 교사의 설명 뒤 “눈높이는 수직 길이이므로 수평거리 20m에 더하면 안 된다”고 말하고, 자신의 답안을 지웠다. 이어서 h/20=√3/3, h=20√3/3m을 직접 적었다. 마지막으로 바닥에서 눈까지의 1.5m를 더해 벽 전체 높이=20√3/3+1.5m라고 수정했다. 처음 풀이와 달라진 점은 20과 1.5를 먼저 더하지 않고, 삼각비로 구한 높이에 눈높이를 나중에 더한 것이다.

대입이 아닌 비율로 답을 확인하기

검산에서는 같은 계산을 반복하지 않도록 전체 높이에서 눈높이를 빼는 방법을 사용했다. 수정한 전체 높이에서 1.5m를 빼면 눈보다 높은 부분인 20√3/3m가 남는다. 이를 수평거리 20m로 나누면 (20√3/3)÷20=√3/3이 되어 문제에서 준 tan30°와 일치한다. 이 확인은 1.5m를 수평거리와 합친 것이 아니라, 수직 높이의 일부로 처리했는지 보여 준다.

전체 높이가 주어진 45° 문제에 적용하기

새 문제에서는 눈높이 1.5m인 관측자가 높이 11.5m인 벽의 꼭대기를 수평선에서 45°로 올려본다. 이번에는 전체 높이가 주어지고 수평거리를 구해야 하며, tan45°=1이다. 학생은 대표 문제와 달리 눈보다 높은 부분을 먼저 빼야 한다. 벽 전체 높이에서 눈높이를 빼면 11.5−1.5=10m이고, 수평거리를 d라 하면 10/d=1이므로 d=10m이다. 높이 차 10m와 수평거리 10m의 비가 1이므로 조건과도 맞는다.

다음에는 대표 문제의 수치와 조건은 그대로 제시하되 오답과 풀이를 가린 뒤, 학생이 수평거리와 수직 높이를 직접 표시하게 한다. 이어 새 문제에서는 전체 높이에서 1.5m를 먼저 빼고 수평거리를 구하는지, 방향이 다른 길이를 같은 변에 합치지 않는지 도움 없이 설명하게 한다. 막히면 “눈높이는 어느 방향의 길이인가요?”라는 한 관계만 되짚고, 다음 식은 학생이 결정하는지 확인한다.