청당동 중등수학과외

“괄호 안을 한 수로 보면 무엇을 먼저 할까?”

수업은 학생에게 “(x−2)²에서 괄호 안을 먼저 한 수로 보면, 어떤 행동부터 해야 할까?”라고 묻는 장면에서 시작한다. 학생은 잠시 식을 바라보다가 양변을 전개해야 한다고 말한다. 교사는 바로 풀이를 대신 쓰지 않고, “이 식 전체가 어떤 수의 제곱인지 먼저 볼 수 있을까?”라고 다시 질문한다. 청당동중등수학과외 수업에서는 학생이 식을 단순히 전개하는 데 그치지 않고, 문제의 모양에 따라 첫 판단을 선택했는지 확인하는 데 초점을 둔다.

교사는 대표 문항을 제시한다. (x−2)²=9를 풀어라. 학생은 처음에 왼쪽을 전개하면서 x²−4=9라고 적고, 따라서 x²=13이라고 결론을 냈다. 여기서 x²−4라는 결과만 보고 곧바로 계산 실수라고 단정하지 않는다. 학생이 괄호를 전개하는 과정에서 가운데 항을 놓친 것인지, 아니면 제곱근을 취하는 방법을 떠올리지 못한 것인지 구분해야 하기 때문이다.

−4x가 생기는지 확인하는 짧은 질문

교사는 학생의 풀이를 가리키며 “(x−2)²을 전개하면 −4x가 생기니?”라고 묻는다. 학생이 전개식을 다시 적어 보다가 (x−2)²=x²−4x+4라고 말하면, 처음 줄에서 가운데 항을 제거했다는 판단이 드러난다. 반대로 가운데 항이 있어야 한다는 기준은 알고 있었는데 x²−4라고 잘못 계산한 것이라면 각 항을 한 줄씩 확인해야 한다. 이 질문에 답하는 방식이 원인을 구분하는 근거가 된다.

이번 장면에서 교사는 전개 전체를 다시 설명하지 않는다. 대신 “괄호 안을 하나의 수로 보면, 그 수의 제곱이 9라는 뜻이야”라고 한 관계만 짚는다. 그러면 학생은 x−2=3 또는 x−2=−3이라고 직접 적는다. 교사는 다음 줄을 대신 말하지 않고, 학생에게 “각 경우에서 x를 어떻게 정리할까?”라고 묻는다. 학생은 첫 번째 식에서 x=5, 두 번째 식에서 x=−1을 써서 두 해를 완성한다.

전개 대신 제곱근을 취한 수정 풀이

학생은 처음 풀이의 첫 줄을 지우고, 문제의 형태를 그대로 살려 다시 작성한다. (x−2)²=9에서 제곱근을 취하면 x−2=3 또는 −3이다. 따라서 첫 번째 경우는 x=5이고, 두 번째 경우는 x=−1이다. 처음에는 괄호를 전개하는 과정에서 −4x를 빠뜨려 x²=13이라는 식으로 달라졌지만, 수정 풀이에서는 제곱식 전체를 한 묶음으로 보고 두 부호를 모두 고려했다. 학생은 “제곱해서 9가 되는 수가 3과 −3이라서 두 경우를 써야 한다”고 자신의 선택 이유도 말한다.

검산은 같은 전개 계산을 반복하는 방식으로 진행하지 않는다. 구한 값을 원래 식에 직접 대입해 조건을 확인한다. x=5이면 (5−2)²=3²=9이고, x=−1이면 (−1−2)²=(−3)²=9이다. 두 값이 모두 원래 방정식을 만족하므로 수정한 답은 x=5 또는 x=−1이다. 학생이 정답 숫자만 읽는 것이 아니라, 각 해를 원래 조건에 넣어 확인하는지까지 관찰한다.

우변이 0일 때 두 부호가 만나는 경우

같은 기준을 다른 조건에서도 선택하는지 확인하기 위해 우변을 바꾼다. 새 문제는 (x−2)²=0의 서로 다른 해를 모두 구하라이다. 이번에는 학생이 먼저 괄호 안을 한 수로 보고 x−2=0이라고 적은 뒤 x=2를 구해야 한다. 우변이 9일 때처럼 3과 −3을 적는 형식만 반복하면 안 된다. 0의 제곱근은 +0과 −0으로 표시할 수 있지만 두 값은 같으므로 서로 다른 해는 하나뿐이다. 학생은 (2−2)²=0으로 대입해 x=2가 조건을 만족하는지도 확인한다.

다음 수업에서 대표 문제를 다시 제시할 때는 문제와 조건만 남기고, 학생의 오답과 수정 풀이와 정답은 가린다. 학생이 막히면 교사는 “제곱식 전체를 한 묶음으로 보면 두 값을 구할 수 있어”라는 한 관계만 되짚고 다음 줄은 학생이 정하게 한다. 이후 (x−2)²=0에서도 괄호 안을 먼저 한 수로 보아 제곱근을 취하고, +0과 −0이 같은 값임을 스스로 설명하는지 확인한다. 마지막으로 대표 문제의 두 해를 직접 대입해 (5−2)²=9, (−1−2)²=9를 남기는지가 판단 근거가 된다.