청수동 중등수학과외

1.5가 포함된 새 조건에서 먼저 확인한 것

새 문제를 먼저 제시했다. 줄기 1의 잎은 0, 5, 5이고 줄기 2의 잎은 0이다. 이번 범례에서 ‘1｜5’는 1.5를 뜻한다. 학생은 네 자료와 중앙값을 구해야 했지만, 곧바로 계산하기보다 줄기와 잎이 각각 어느 자리값을 나타내는지 표시했다. 1.0, 1.5, 1.5, 2.0으로 자료를 펼친 뒤 가운데 두 수를 골라 중앙값=(1.5+1.5)÷2=1.5라고 적었다. 이 장면에서 중요한 것은 숫자 모양이 아니라 범례가 바뀌어도 줄기가 큰 자리, 잎이 그다음 자리라는 구조를 읽는 일이었다.

청수동중등수학과외 수업에서는 새 문제의 답만 확인하지 않고, 학생이 네 개의 잎을 빠짐없이 자료로 옮겼는지 함께 대조했다. 줄기 1에서 0, 5, 5를 사용해 1.0, 1.5, 1.5를 만들고 줄기 2의 0으로 2.0을 만든 흔적이 남아 있어야 했다. 중앙값을 구할 때도 자료를 작은 수부터 배열한 뒤 가운데 두 자료를 선택했는지 확인했다.

줄기 2의 잎 3을 수로 바꾸는 질문

교사는 곧바로 새 문제의 풀이를 이어 가지 않고, 비교할 대표 문제를 꺼냈다. 줄기 1의 잎이 2, 5, 5이고 줄기 2의 잎이 0, 3이며 ‘1｜2는 12’를 뜻하는 문항이다. 자료의 개수, 최솟값, 최댓값을 구하는 문제에서 학생은 “가장 큰 잎이 5이므로 최댓값은 15”라고 작성했다.

먼저 잎 하나가 자료 한 개에 대응한다는 점은 맞게 처리했는지 확인했다. 실제로 잎은 2, 5, 5, 0, 3으로 다섯 개이므로 자료의 개수를 5라고 볼 근거는 있었다. 다만 최댓값을 고를 때 줄기를 비교하지 않고 잎 5만 선택한 판단에서 풀이가 달라졌다. 교사는 짧게 물었다. “줄기 2의 잎 3은 어떤 수인가?” 학생이 “23”이라고 말하면서도 답안에는 15를 적었다면, 말로 범례를 읽는 것과 실제 비교에 적용하는 과정이 어긋난 지점이 분명해진다.

줄기를 먼저 비교해 고쳐 쓴 자료

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고, 각 잎을 자료 하나로 옮긴 뒤 줄기 1과 줄기 2를 나란히 놓아 보였다. 23은 일의 자리 3이어도 십의 자리 2이므로 15보다 크다. 여기서 설명을 멈추고 학생에게 “이제 어느 줄기를 먼저 비교할까?”라고 물었다. 학생은 줄기 1의 자료 12, 15, 15보다 줄기 2의 자료가 크다는 표시를 먼저 하고, 같은 줄기 안에서는 잎을 비교한다고 말한 뒤 식을 다시 썼다.

수정한 풀이는 자료는 12, 15, 15, 20, 23, 자료의 개수는 5, 최솟값은 12, 최댓값은 23이었다. 처음 풀이에서는 잎의 크기만으로 15를 골랐지만, 수정 풀이에서는 줄기 2가 줄기 1보다 크다는 판단을 먼저 세웠다. 같은 줄기 안에서만 잎을 비교해야 한다는 조건도 함께 적용했다.

원자료를 복원하는 방식의 검산

검산은 최댓값을 다시 한 번 찾는 계산으로 반복하지 않았다. 학생이 적은 다섯 자료를 줄기와 잎으로 되돌려 12→1｜2, 15→1｜5, 15→1｜5, 20→2｜0, 23→2｜3으로 복원하게 했다. 잎이 다섯 개 모두 사용되었고 원래의 줄기 1과 줄기 2에 다시 들어가므로 자료의 개수와 범례가 맞는지 동시에 확인할 수 있다. 이 검산에서 23을 15보다 작게 둘 수 없다는 점도 자연스럽게 드러난다.

도움을 줄인 뒤에는 원래 문제에서 풀이 부분만 가리고 학생이 처음부터 다시 적게 한다. 필요할 때 교사는 “23은 일의 자리 3이어도 십의 자리 2이므로 15보다 크다”까지만 말하고, 줄기 비교와 최댓값 선택은 학생이 완성하게 한다. 다음 문제에서는 줄기 1의 잎 0, 5, 5와 줄기 2의 잎 0을 일의 자리와 소수 첫째 자리 범례로 해석해 네 자료와 중앙값을 구하게 한다. 학생이 도움 없이 1.0, 1.5, 1.5, 2.0을 모두 적고 가운데 두 수로 1.5를 계산하는지, 네 잎을 빠짐없이 사용했다는 근거까지 설명하는지를 확인한다.