구성동 고등수학과외

E(X)=0·3/4+2·1/4=1/2. 이 식을 먼저 놓고 보면, 이산확률변수의 기댓값은 가능한 값만 더해 나누는 계산이 아니라 각 값에 그 값이 나올 확률을 곱해 더하는 가중평균임을 확인할 수 있다. 배움노트 고등수학 수업에서는 정답만 맞히는 데 그치지 않고, 왜 이 식을 세우는지 학생이 직접 설명하도록 연결한다.

단순평균이 된 오답에서 빠진 판단 찾기

문제의 조건은 X=0, 2가 각각 확률 3/4, 1/4로 나온다는 것이다. 이때 “(0+2)/2=1”이라고 답했다면 두 값의 산술평균을 구한 셈이다. 그러나 처음 식에서 어떤 판단이 빠졌는지 확인하려면 “두 값이 같은 확률로 나오는가?”라고 묻는다. 두 확률이 같지 않으므로 두 값의 영향도 같게 둘 수 없다.

학생은 0과 2 옆에 각각 3/4와 1/4을 직접 표시하고, 값과 확률을 같은 행에 나란히 적는다. 확률분포에서는 모든 확률이 0 이상이고 합이 1이어야 하므로 3/4+1/4=1도 확인한다. 이 과정을 통해 단순평균과 확률 가중평균을 구별할 수 있다. 분산을 함께 다룰 때에는 평균에서의 차를 제곱한 뒤 그 확률을 곱해 더한다는 점을 따로 적어, 분산과 표준편차를 같은 단위의 값처럼 읽지 않게 한다.

확률을 곱한 수정 풀이와 부분 검산

교사는 “각 값이 평균에 얼마나 반영되어야 하는가?”를 다시 묻고, 학생이 계산식을 직접 고치게 한다. 학생은 E(X)=0·3/4+2·1/4=1/2을 작성한다. 0·3/4=0, 2·1/4=1/2이므로 합은 1/2이다. 확률 네 몫을 각각 0, 0, 0, 2로 보는 동일 가중 자료로 바꾸어도 평균은 (0+0+0+2)/4=1/2가 된다. 이는 주어진 확률을 계산에 반영했다는 부분 검산이다.

여기서 1/2은 반드시 X가 실제로 취하는 값일 필요가 없다. 기댓값은 여러 결과의 균형을 나타내는 값이며, 한 번의 시행에서 반드시 관찰되는 결과와는 다르다. 따라서 계산 결과가 가능한 값 목록에 있는지와 기댓값으로서 올바른지는 구분해 판단한다.

조건을 남긴 채 풀이를 가린 재적용

이제 문제, X=0과 X=2, 두 확률이 각각 1/2이라는 조건, 그리고 계산에 필요한 확률분포만 남기고 풀이와 정답은 가린다. 학생은 먼저 확률의 합과 각 확률의 범위를 표시한 뒤 E(X)=0·1/2+2·1/2를 계산한다. 결과는 1이다. 이어 “평균은 실제 가능한 값이어야 한다”라는 주장의 참·거짓을 판단한다. X의 가능한 값은 0과 2뿐이지만 평균은 1이므로 주장은 거짓이다.

앞 문제와 달라진 실제 조건은 확률이 3/4, 1/4에서 1/2, 1/2로 바뀐 점이다. 식의 형태가 가중합이라는 점은 같지만 결과는 균형점인 1로 달라진다. 학생은 같은 개념을 다른 표현으로 바꾼 것인지, 확률 자체가 바뀐 것인지 한 문장으로 적는다. 계산식만 남는다면 값·확률·평균과의 차를 표의 같은 행에 놓고 대조한다. 다음 확인에서는 정답을 먼저 보이지 않은 상태에서 경계값과 제외 조건을 표시하게 하여, 기댓값의 계산과 실제 가능한 값의 의미를 스스로 구분하도록 한다.