청당지구 중등수학과외

새 문제로 수업을 시작했다. 자료가 (1,2),(2,4),(3,4),(4,7),(5,8)일 때 상관 방향과 인과관계를 설명하는 문항이다. 학생은 x가 커질수록 y가 대체로 커진다는 점을 보고 양의 상관관계라고 적었다. 실제로 낮은 x에서 y는 2, 4이고 높은 x에서 y는 7, 8이므로 전체 점의 흐름은 위쪽이다. 다만 x와 y가 함께 변한다는 사실만으로 x가 y 변화의 원인이라고 말할 수는 없다. 한 구간에서 y가 같게 유지된 점도 있지만, 그것이 전체 증가 경향을 없애지는 않는다. 청당지구중등수학과외 수업에서는 이처럼 방향 판단과 원인 판단을 한 문장에 섞지 않고 각각 근거를 남기게 한다.

증가 경향을 읽은 뒤 인과관계를 멈추는 질문

교사는 학생에게 “이 자료는 외부 조건을 통제한 실험인가, 단순히 모은 자료인가?”라고 물었다. 학생은 실험 조건이나 다른 요인을 확인한 자료가 아니라는 점을 말하면서도, 처음에는 x가 커졌기 때문에 y가 커졌다고 설명하려 했다. 교사는 양의 상관관계라는 판단은 유지하되, 원인이라는 결론에는 추가 자료가 필요하다고 짚었다. 여기서 학생의 설명과 실제 답안의 첫 판단을 나란히 놓았다. 증가 방향을 읽는 부분은 자료와 맞았지만, 함께 변한 사실을 직접 원인으로 바꾼 지점에서 판단이 달라졌다. 오답 하나만으로 개념 전체를 모른다고 단정하지 않고, 자료의 성격을 묻는 질문에 어떤 근거를 드는지까지 확인한 것이다.

(1,5),(2,4),(3,4),(4,2),(5,1)의 감소 방향

이제 비교할 대표 문제를 제시했다. 순서쌍은 (1,5),(2,4),(3,4),(4,2),(5,1)이고, x와 y의 상관관계 방향과 x가 y 변화의 원인인지 판단해야 한다. 학생의 처음 답은 “x를 늘리면 반드시 y가 줄어든다.”였다. 낮은 x인 1, 2에서 y가 5, 4이고 높은 x인 4, 5에서 y가 2, 1이므로 감소하는 흐름을 본 점은 적절했다. 그러나 “반드시”라는 말은 자료가 보여 주는 범위를 넘어섰고, 상관을 인과로 단정한 표현이 되었다. 특히 x=2와 x=3에서 y가 모두 4인 점은 매번 감소한다고 말할 수 없음을 보여 준다.

교사는 전체 풀이를 대신 쓰지 않고 두 가지만 표시했다. 낮은 x의 y는 5,4이고 높은 x의 y는 2,1이라는 비교를 먼저 하게 한 뒤 “자료가 함께 변한다는 것과 원인이라는 말은 같은가?”라고 물었다. 이어 “모든 점이 한 직선에 있어야 음의 상관인가?”라고 확인했다. 학생은 모든 점이 정확한 직선 위에 있거나 x가 증가할 때마다 y가 내려갈 필요는 없다고 말했고, 동반 변화만으로 직접 원인을 확정할 수 없다는 설명을 받아들였다. 그 뒤 나머지 판단은 학생이 직접 완성했다.

상관의 방향과 인과 판단을 분리한 수정 풀이

학생은 답안을 다음과 같이 고쳐 썼다. “x가 커질수록 y가 대체로 작아지므로 음의 상관관계다. 이 자료만으로 인과관계를 단정할 수 없다.” 처음 풀이와 달라진 부분은 두 가지다. ‘반드시’라는 표현을 ‘대체로’로 바꾸어 산점도의 전체 경향만 말했고, x가 y를 변화시킨다는 결론을 삭제한 것이다. 상관의 방향은 낮은 x와 높은 x에서 y의 위치를 비교해 설명하고, 원인 여부는 외부 조건과 추가 자료가 없다는 점에 근거해 제한했다.

검산은 같은 계산을 반복하지 않고 자료의 양끝을 대조하는 방식으로 진행했다. x=1,2의 y는 각각 5,4이고 x=4,5의 y는 각각 2,1이어서 낮은 x 쪽보다 높은 x 쪽의 y가 전반적으로 낮다. 동시에 x=2와 x=3의 y가 모두 4이므로 매번 감소한다는 표현은 부적절하다. 따라서 ‘대체로 작아진다’는 문장이 자료에 맞고, 실험이나 통제 조건을 확인하지 않은 상태에서 인과관계를 확정하지 않는다는 결론도 유지된다.

조건을 바꾼 문제에서 혼자 남길 근거

마지막에는 처음의 증가 자료를 다시 제시하고 풀이 부분만 가렸다. 학생은 (1,2),(2,4),(3,4),(4,7),(5,8)을 보고 x가 커질수록 y가 대체로 커지므로 양의 상관관계라고 적어야 한다. 이어 “이 자료만으로 인과관계를 확정하지 않는다.”라고 덧붙여야 한다. 한 구간에서 y가 4로 같다는 조건은 그대로지만 전체 경향은 대표 문제의 감소에서 증가로 바뀌었다. 다음 수업에서는 교사의 문장을 기다리지 않고 낮은 x와 높은 x의 y를 먼저 비교한 뒤, 상관의 방향과 인과관계 제한을 각각 설명하는지 확인한다. 정답만 맞혔는지가 아니라, 낮은 x의 y가 2,4이고 높은 x의 y가 7,8이라는 근거를 혼자 말하고 원인 판단을 멈추는지를 기록한다.