구암동 중등수학과외

“2점이 가장 많으므로 평균 2점.” 가상 수업에서 학생은 도수표를 보고 이렇게 답했다. 점수 1점의 도수는 2명, 2점의 도수는 3명, 3점의 도수는 1명이었다. 2점이 세 번 나타나 가장 흔한 값이라는 점은 정확히 찾았지만, 문제에서 요구한 것은 가장 흔한 점수가 아니라 전체 평균 점수였다. 구암동중등수학과외 수업에서는 정답만 고치는 데 그치지 않고, 학생이 어떤 통계량의 절차를 선택했는지부터 확인했다.

“가장 흔한 값과 평균은 같은 뜻일까?”

교사는 학생에게 짧게 물었다. “가장 흔한 값과 총점을 고르게 나눈 값이 같은 정의일까?” 학생은 2점이 많이 나온 사실과 평균을 구하는 방법을 한 문장으로 설명하려 했지만, 두 기준이 다르다는 근거를 바로 말하지 못했다. 교사는 계산 실수인지 판단의 혼동인지 구분하기 위해 학생의 첫 답과 질문에 대한 설명을 나란히 놓았다. 학생은 곱셈이나 덧셈을 먼저 틀린 것이 아니라, ‘최빈값’을 ‘평균’으로 바꾸어 답한 상태였다.

교사는 설명을 한 단계로 제한했다. “최빈값 2와 평균 11/6은 다른 통계량이다.” 그런 다음 자료를 실제 목록으로 펼쳐 보였다. 도수표의 내용을 점수 순서대로 쓰면 1, 1, 2, 2, 2, 3이 된다. 학생은 이제 문제의 질문이 평균인지 최빈값인지 다시 읽고, 질문에 맞는 절차를 직접 선택해야 했다. 교사는 이어지는 식을 대신 적지 않고, 점수와 도수를 곱해야 하는지부터 학생이 결정하게 했다.

점수×도수로 전체 평균을 다시 쓰기

학생은 수정 풀이에 먼저 각 점수에서 나온 총점을 적었다. 총점 = 1×2 + 2×3 + 3×1 = 2 + 6 + 3 = 11점이다. 이어서 자료의 전체 인원을 2 + 3 + 1 = 6명으로 계산했다. 따라서 평균은 11÷6 = 11/6점이다. 처음에는 2점의 출현 횟수가 가장 많다는 사실만 사용했지만, 수정한 풀이에서는 모든 점수와 도수를 반영한 뒤 총점을 인원으로 나누었다. 학생은 “2점은 최빈값이고, 11/6점은 평균”이라고 두 결과의 이름과 산출 방법을 구분해 말하며 답을 완성했다.

목록으로 펼쳐 보는 별도 검산

같은 나눗셈을 반복하지 않기 위해 도수표를 자료 목록으로 바꾸어 확인했다. 1, 1, 2, 2, 2, 3의 합은 11이고 자료의 개수는 6개이므로 평균은 다시 11/6점이다. 이 검산은 점수×도수 계산을 그대로 되풀이한 것이 아니라, 도수가 실제 자료의 반복 횟수로 제대로 해석되었는지 확인하는 방법이다. 또한 2가 가장 많이 나타난다는 사실은 최빈값을 정하는 근거일 뿐, 평균을 2로 정하는 근거가 아님도 드러난다.

가운데 도수가 바뀌어도 유지되는 평균의 원리

새 문제에서는 점수 1점, 2점, 3점의 도수가 각각 2명, k명, 2명이고 k는 0 이상의 정수라고 하자. 이번에는 가운데 점수의 도수가 정해지지 않았으므로 학생은 특정 숫자를 세어 답할 수 없다. 점수와 도수를 곱해 총점을 만들면 1×2 + 2×k + 3×2 = 2k+8이고, 전체 인원은 2+k+2 = k+4명이다. 따라서 평균은 (2k+8)÷(k+4) = 2(k+4)÷(k+4) = 2점이다. k는 0 이상의 정수이므로 k+4는 0이 아니며 약분할 수 있다. 다른 확인 방법으로는 1점 두 명과 3점 두 명이 짝을 이루어 각각 평균 2를 만들고, 추가되는 모든 2점도 평균을 2로 유지한다는 관계를 설명할 수 있다.

다음 문제에서는 가운데 점수의 도수가 미지수로 주어진 도수표를 보고, 학생이 먼저 질문이 평균인지 최빈값인지 표시한 뒤 점수×도수의 합과 전체 인원을 직접 적게 한다. 막히더라도 “최빈값 2와 평균 11/6은 다른 통계량이다.”라는 도움까지만 제공하고, 이어지는 식은 스스로 완성하게 한다. 풀이를 마친 뒤에는 자료를 목록으로 펼쳐 합과 개수를 확인하여 원래 조건을 만족하는지 검산하는지, 그리고 정답뿐 아니라 선택한 절차의 이유를 혼자 설명하는지를 기록한다.