대구동천동 중등수학과외

중3 학생이 √20−√8을 간단히 하라는 문제를 풀고, 문제의 조건과 자신이 적은 답안을 나란히 놓았다. 학생의 식은 “√20−√8=2(√5−√2)=2(5−2)=6”이었다. 교사는 바로 정답을 말하지 않고 “이 식은 처음 문제의 조건을 끝까지 지켰을까?”라고 물었다. 대구동천동중등수학과외 수업에서는 학생이 계산 결과만 고치는 대신, 어느 순간에 근호의 의미를 정수의 차로 바꾸었는지 직접 표시하게 했다.

2(√5−√2)=2(5−2)에서 달라진 판단

학생은 먼저 √20을 2√5로, √8을 2√2로 바꾼 부분은 바르게 처리했다. 실제로 20=4×5이고 8=4×2이므로 √20=2√5, √8=2√2이다. 따라서 √20−√8=2√5−2√2=2(√5−√2)까지의 변형은 조건에 맞는다. 처음 달라진 지점은 괄호 안의 √5−√2를 5−2로 바꾼 부분이다.

교사는 오답 하나만 보고 원인을 단정하지 않았다. “√5가 5인지 제곱 관계로 확인해 볼까?”라고 짧게 물은 뒤, 학생에게 √5를 제곱했을 때 어떤 수가 되는지 말하게 했다. 학생이 √5를 제곱하면 5가 되지만 √5 자체가 5는 아니라고 설명하면, 근호의 값을 정수로 치환한 판단이 문제였음을 확인할 수 있다. 반대로 이 기준은 알고 있었다면 괄호를 전개하거나 계수를 계산한 과정을 한 줄씩 살펴야 한다.

괄호로 묶은 뒤에도 √를 남기는 수정

교사는 풀이 전체를 대신 적지 않고 한 관계만 보여 주었다. “괄호로 묶어도 근호의 뜻은 유지돼.” 학생은 이 설명을 들은 뒤 다음 줄을 직접 완성했다. √20=2√5, √8=2√2이므로,

√20−√8=2√5−2√2=2(√5−√2)

이다. 학생은 마지막 괄호에서 √5와 √2를 5와 2로 바꾸지 않고 근호를 남겼다. 이때 교사는 “서로 다른 근호를 정수 차로 바꿀 수 있을까?”라고 다시 확인했다. √5와 √2는 서로 다른 근호이므로 동류근호가 아니며, 계수만 빼서 하나의 근호로 합칠 수도 없다. 따라서 이 문제의 간단한 형태는 2(√5−√2)이다.

제곱으로 복원하는 검산과 새로운 조건

이번에는 같은 계산을 반복하지 않는 방식으로 결과를 확인했다. 학생은 2√5를 제곱하여 4×5=20, 2√2를 제곱하여 4×2=8을 얻었다. 두 항이 원래의 √20과 √8로 복원되므로 각각의 근호 정리는 맞다. 또 √5와 √2가 서로 다르다는 점을 확인해, 두 항을 정수처럼 빼거나 하나의 동류근호로 합치지 않아야 한다는 판단도 함께 남겼다.

이제 조건을 바꾼 문제로 √20−√45를 간단히 하라를 제시했다. √20=2√5, √45=3√5이므로 이번에는 정리한 뒤 근호가 같아진다. 학생은 2√5−3√5=(2−3)√5=−√5라고 계산했다. 여기서는 같은 √5의 계수끼리 뺄 수 있지만, 결과의 −는 근호 안의 수가 음수라는 뜻이 아니다. 첫 번째 근호의 양수 값보다 두 번째 근호의 값이 크기 때문에 두 근호의 차가 음수가 된 것이다.

다음 확인에서는 문제와 조건만 다시 제시하고 오답과 수정 풀이를 가린다. 학생이 먼저 √20과 √8을 각각 인수분해해 근호를 정리한 뒤, 괄호로 묶어도 √5와 √2를 그대로 남기는지 관찰한다. 이어 √20−√45에서는 근호가 같아진다는 조건을 스스로 찾아 계수만 계산하고, −√5가 나온 이유를 두 근호의 크기 비교로 설명하는지 확인한다. 중간에 멈추면 “괄호로 묶어도 근호의 뜻은 유지된다”는 한 관계만 되짚고, 다음 식은 학생이 직접 결정하게 한다.