칠성동 중등수학과외

중2 경우의 수와 확률 수업에서 학생은 다음 문제를 먼저 읽었다. 1부터 6까지의 수가 같은 확률로 나오는 주사위를 한 번 던질 때, 짝수이거나 4보다 큰 수가 나올 확률을 구하는 문제였다. 학생은 종이에 “성공 네 가지, 사건 두 개이므로 확률 2”라고 적었다. 칠성동중등수학과외 수업에서는 정답만 바로 고치지 않고, 네 가지라는 판단은 어디에서 나왔는지와 2라는 분모를 왜 선택했는지를 나누어 확인했다.

성공 결과는 네 가지로 세었지만, 분모가 달라진 이유

교사는 학생의 답안에서 맞게 처리한 부분부터 짚었다. 짝수인 결과는 2, 4, 6이고 4보다 큰 결과는 5, 6이므로, 두 조건 중 하나라도 만족하는 결과를 겹치지 않게 모으면 2, 4, 5, 6 네 가지가 된다. 따라서 성공 결과를 네 개로 센 과정 자체는 문제의 조건과 맞는다.

그다음 교사는 짧게 물었다. “확률의 분모는 조건 개수일까, 전체 기본 결과일까?” 학생이 “사건이 두 개라서 2”라고 답하자, 교사는 그 대답과 첫 계산을 나란히 놓았다. 사건의 개수와 주사위에서 실제로 나올 수 있는 결과의 개수를 같은 것으로 취급한 지점이 처음 달라진 판단이었다. 아직 계산 실수라고 단정하지 않고, 분모를 정하는 기준을 알고 있는지 확인한 것이다.

분모를 전체 결과 수로 정하고 직접 수정하기

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고 주사위 눈을 1, 2, 3, 4, 5, 6으로 적은 뒤 말했다. “분모는 같은 가능성의 1~6 여섯 결과야.” 학생은 이 설명을 바탕으로 분모를 사건 수가 아닌 전체 결과 수로 다시 정했다. 이어서 두 사건의 결과를 직접 정리했다.

짝수 {2,4,6}, 4보다 큰 수 {5,6}이므로 겹치는 6은 한 번만 세고, 합친 결과는 {2,4,5,6}이다. 따라서 학생은 풀이를 4/6=2/3으로 고쳐 썼다. 처음 풀이와 달라진 부분은 성공 결과를 세는 방식이 아니라, 그 결과를 비교할 전체 기준을 분모에 넣은 점이었다. 교사는 학생에게 “왜 2가 아니라 6인지 한 문장으로 말해 볼래?”라고 물었고, 학생은 “주사위의 모든 기본 결과가 1부터 6까지 여섯 개이기 때문”이라고 설명한 뒤 식을 마무리했다.

대입 대신 제외되는 결과로 확인하는 검산

수정한 식을 그대로 다시 계산하는 대신, 교사는 반대쪽 결과를 세어 보게 했다. 1부터 6까지의 전체 결과 중 짝수도 아니고 4보다 크지도 않은 수는 1과 3뿐이다. 제외되는 결과의 확률은 2/6이므로, 원하는 확률은 1−2/6=4/6=2/3이다. 성공 결과 네 개를 직접 센 풀이와 실패 결과 두 개를 제외한 검산이 같은 값에 도달한다. 이 확인은 분모가 여섯이라는 기준과, 6을 두 사건에서 중복해 세지 않았다는 점을 함께 점검한다.

“이거나”를 “이면서”로 바꾸었을 때의 공통 결과

이제 조건을 바꾼 문제를 제시했다. 공정한 주사위를 한 번 던질 때 짝수이면서 4보다 큰 수가 나올 확률을 구하는 문제다. 앞 문제의 “짝수이거나 4보다 큰 수”는 두 조건 중 하나를 만족하는 결과를 합치는 것이었지만, 이번에는 두 조건을 동시에 만족하는 공통 결과만 골라야 한다.

짝수는 {2,4,6}, 4보다 큰 수는 {5,6}이므로 두 조건을 모두 만족하는 결과는 6 하나다. 따라서 확률은 1/6이다. 2와 4는 짝수이지만 4보다 크지 않고, 5는 4보다 크지만 짝수가 아니므로 포함되지 않는다. 다음 문제에서는 학생이 원래 문제의 풀이 부분만 가린 자료를 보고, 먼저 분모를 전체 결과 수 6으로 정한 뒤 성공 결과를 세게 한다. 새 조건에서는 “또는”과 “동시에” 중 어느 관계인지 표시하고 공통 결과를 직접 골라야 하며, 교사는 정답뿐 아니라 분모를 6으로 정한 이유와 합집합·공통 결과의 차이를 도움 없이 설명하는지를 확인한다.