태전동 중등수학과외

수업은 “√6×√24를 간단히 하라”는 새 문제에서 시작했다. 학생은 두 근호의 곱을 먼저 계산해야 한다는 방향은 잡았지만, 아직 대표 문제를 확인하기 전이라 답을 바로 정하지 않고 식의 조건을 살펴보기로 했다. 이번 적용 문제에서는 곱의 피제곱수가 완전제곱수가 되도록 조건이 바뀌어, 최종 답에서 근호가 남는지 여부를 비교할 수 있다.

√6×√24에서 완전제곱수 확인하기

학생은 “√6×√24=√144=12”라고 적었다. 근호 안의 곱을 계산한 뒤 144가 완전제곱수라는 점까지 연결한 것은 적절했다. 교사는 “12를 다시 제곱하면 근호 안의 곱과 같나요?”라고 물었고, 학생은 “12²=144이고 6×24도 144”라고 답했다. 두 근호가 양수라는 조건까지 대조하자 이 적용 문제의 답은 12로 확인되었다.

다만 이 답만 보고 근호 계산 기준을 완전히 익혔다고 판단하지는 않았다. 새 문제에서는 √6×√24의 곱이 완전제곱수가 되어 근호가 사라졌기 때문이다. 같은 학생이 근호 안의 수를 계산한 뒤 어떤 경우에는 근호를 남기고, 어떤 경우에는 없애는지 확인하려면 조건이 다른 문항이 필요했다.

√1×√4가 4인지 2인지 묻는 순간

교사는 대표 문항을 보여 주기 전에 “√1×√4가 4일까요, 2일까요?”라고 물었다. 학생은 잠시 4라고 말했지만, 종이에 적은 계산은 √(1×4)=√4였다. 이때 말로 설명한 기준과 실제로 옮겨 적은 계산이 같은지 대조했다. 둘이 다르면 단순한 옮겨 쓰기나 계산 과정의 문제일 수 있으므로, 한 번의 오답만으로 원인을 단정하지 않기로 했다.

교사는 근호 안의 곱을 구하더라도 그 결과가 곧바로 근호 밖으로 나오는 것은 아니라고 짚었다. “근호를 없애려면 무엇을 찾아야 할까요?”라는 질문 뒤에 완전제곱 인수를 찾아야 한다는 한 단계만 설명했다. 학생에게는 √1×√4=√4=2를 직접 다시 말하고, 4가 아니라 2인 이유를 “근호 안의 4를 제곱근으로 계산했기 때문”이라고 적게 했다.

√6×√15의 오답을 √90에서 멈추지 않기

이제 대표 문항인 “√6×√15를 간단히 하라”를 제시했다. 학생의 처음 답은 √6×√15=90이었다. 계수처럼 6과 15를 임의로 곱해 근호를 없앤 셈이다. 그러나 학생은 두 수를 곱해 90을 만드는 단계 자체는 시도했다. 처음 달라진 판단은 90을 근호 밖의 수로 쓴 부분이었다.

교사는 “근호 안의 곱을 구한 뒤, 그 결과를 어디에 적어야 하나요?”라고 물었다. 학생은 “근호 안에 남겨야 한다”고 답했고, 교사는 √6×√15=√90까지만 한 줄에 시범으로 적었다. 그다음 과정은 학생이 직접 이어 가도록 했다. 학생은 90을 9×10으로 나누어 완전제곱 인수 9를 찾고, 다음과 같이 수정했다.

√6×√15=√90=√(9×10)=3√10

처음 풀이에서는 90을 바로 답으로 적었지만, 수정 풀이에서는 90을 근호 안에 둔 뒤 완전제곱 인수를 분리했다. 따라서 문제에서 요구한 최종 답은 3√10이다. 학생은 “근호 안의 곱을 구해도 근호는 남기고, 완전제곱 인수가 있을 때만 일부를 밖으로 꺼낸다”고 자신의 기준을 말로 정리했다.

제곱으로 확인하고 다시 적용하기

검산은 같은 곱셈을 반복하지 않고 수정된 답을 제곱하는 방식으로 진행했다. (3√10)²=3²×10=90이므로 √90과 3√10이 같은 값을 나타내는지 확인할 수 있다. 또한 두 양수 근호의 곱을 제곱하면 (√6×√15)²=6×15=90이 되어 원래 조건과도 맞는다. 이 두 근거를 통해 학생은 90과 3√10을 구분하고, 근호를 없애는 조건이 완전제곱 인수라는 점을 다시 확인했다.

마지막으로 학생에게는 대표 문제의 자료를 그대로 두되 기존 풀이와 정답을 가린 상태에서 √6×√15를 처음부터 다시 풀게 한다. 학생이 시작할 때 √6×√15=√90처럼 근호 안에 곱을 남기는지, 이어서 90=9×10을 찾아 3√10으로 정리하는지 관찰한다. 다음 문제에서는 학생이 도움 없이 √6×√24를 풀고, 곱의 피제곱수가 완전제곱수가 되어 답이 12가 되는 이유와 12²=6×24=144라는 검산 근거를 풀이 뒤에 설명하는지 확인한다.