달성군 고등수학과외

같은 두 사람이라도 결과가 달라지는 조건

회장과 부회장을 뽑는 기본 문제를 풀다가, 뽑는 사람은 그대로인데 직책이 사라지면 답이 어떻게 달라지는지 확인해 보자. 서로 다른 5명 중 회장 1명과 부회장 1명을 겸임 없이 뽑는다면 A가 회장이고 B가 부회장인 경우와 B가 회장이고 A가 부회장인 경우는 서로 다른 결과다. 반면 직책 없이 대표 2명만 뽑는다면 두 사람의 순서는 결과에 영향을 주지 않는다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 숫자를 먼저 외우기보다, 문제에서 결과를 구별하는 기준이 무엇인지 문장으로 확인하는 데서 시작한다.

기본 문제의 조건은 ‘서로 다른 5명’, ‘회장 1명과 부회장 1명’, ‘겸임 없음’이다. 이렇게 답했다면 5C2=10이라고 쓸 수 있지만, 이 식은 두 사람을 순서 없이 고른 경우를 센다. 따라서 회장과 부회장처럼 직책이 다른 상황에 맞는지 따져야 한다. 오답 하나만 보고 순열과 조합의 구분을 모른다고 단정하지 않고, “A 회장·B 부회장과 B 회장·A 부회장은 같은 결과인가?”라고 묻는다. 학생이 두 경우를 같다고 판단한다면 순서의 의미를, 다르다고 판단했는데도 10을 썼다면 직책 조건을 계산에 반영했는지를 다시 확인한다.

오답이 세어 놓은 대상을 직접 대조하기

서로 다른 결과를 먼저 정한 뒤, 한 결과가 몇 번 세어졌는지 비교한다. 회장 자리는 5명 중 한 명을 고르는 5가지가 있고, 회장이 정해지면 부회장은 남은 4명 중 한 명을 고르므로 5·4로 셀 수 있다. 예를 들어 A와 B를 선택한 경우에도 A 회장·B 부회장, B 회장·A 부회장이 따로 존재한다. 학생은 작은 목록에서 몇 가지를 직접 적고, 같은 결과가 반복되거나 빠진 경우가 없는지 표시한다. 중간 계산 5와 4가 각각 무엇을 뜻하는지도 말로 설명한 뒤 최종 판단을 스스로 문장으로 쓴다.

따라서 수정 풀이는 5·4=20이다. 정답은 20가지이며, 조합으로도 검산할 수 있다. 두 사람을 고르는 방법은 5C2=10가지이고, 고른 두 사람을 회장과 부회장에 배치하는 방법은 2가지이므로 10·2=20이다. 이 검산은 단순히 숫자를 대입한 반례가 아니라, 모든 두 사람의 집합마다 직책 배치가 정확히 두 가지라는 일반적인 구조에 근거한다.

직책을 없애고 같은 기준으로 다시 풀기

이번에는 필요한 자료와 조건만 남긴다. 문제는 ‘서로 다른 5명 중 직책 없이 대표 2명을 뽑는 경우의 수를 구하라’이다. 앞의 풀이와 정답은 가린 상태에서 학생이 먼저 “이번에는 A와 B를 뽑은 결과와 B와 A를 뽑은 결과가 같은가?”에 답하게 한다. 같은 결과라면 직책이 있는 선택과 없는 선택의 허용 범위가 달라졌음을 확인할 수 있다. 직책이 있는 문제에서 만든 순서 있는 목록을 기준으로 보면 AB와 BA가 하나의 대표 2명 집합을 두 번 세고 있으므로 20을 2!로 나눈다.

계산은 20÷2!=10이고 정답은 10가지다. 각 두 사람의 집합이 정확히 두 번씩 세어졌으므로 같은 배수로 나눌 수 있다. 문제의 수치와 조건을 유지한 채 해설만 가리고 다시 시작했을 때, 학생이 비교 질문에 답한 뒤 계산을 스스로 완성하는지가 다음 확인 지점이다. 식만 기억한다면 작은 목록을 직접 만들어 중복과 누락을 표시하게 한다. 이후에도 직책이 있는 선택인지 없는 선택인지, 순서가 결과를 바꾸는지 먼저 표시한 뒤 풀이를 시작하면 비슷한 경우의 수 문제에도 같은 판단 기준을 적용할 수 있다.