덕명동 중등수학과외

닮은 두 삼각형의 넓이비가 9:25이고, 작은 삼각형의 한 변이 6cm일 때 대응하는 큰 변의 길이를 구하는 문제로 수업을 시작했다. 학생은 넓이비 9:25를 보고 곧바로 25-9를 계산하려 했지만, 교사는 “넓이비를 길이비로 바꾸려면 어떤 관계를 사용해야 할까?”라고 물었다. 학생은 넓이가 길이의 제곱에 따라 변한다는 말을 떠올렸지만, 9:25에서 바로 3:5를 만드는 과정은 식으로 남기지 못했다. 이 장면에서는 답을 맞혔는지만 보지 않고, 넓이비와 닮음비의 방향을 구별하는지 확인하기로 했다.

넓이비 9:25를 길이비로 바꾸는 첫 판단

교사는 작은 삼각형과 큰 삼각형의 넓이비가 9:25라는 조건만 다시 표시하고, “길이비는 넓이비와 같을까?”라고 짧게 물었다. 학생은 처음에는 9:25라고 답했지만, 넓이는 밑변과 높이를 함께 사용한다는 점을 말하면서 두 길이의 변화가 누적된다는 사실을 확인했다. 따라서 길이비는 넓이비의 제곱근으로 찾아야 한다. √9:√25=3:5이므로 작은 변과 큰 변의 대응 길이비는 3:5이다. 작은 변이 6cm이므로 3에 해당하는 길이가 6cm이고, 1에 해당하는 길이는 6÷3=2cm이다. 큰 변은 2×5=10cm가 된다.

이 문제에서 학생이 10cm를 적었다고 해서 원리를 바로 안다고 단정하지 않았다. 교사는 9:25를 3:5로 바꿀 때 왜 제곱근을 사용했는지 다시 말하게 했고, 학생이 “닮음비를 제곱하면 넓이비가 되기 때문”이라고 설명하는지와 실제 계산 줄을 함께 살폈다. 말로는 이유를 설명하면서도 식에서는 넓이비를 그대로 길이비로 옮길 가능성이 있기 때문이다.

대표 문제에서 드러난 넓이 배율의 누락

이제 대응변의 길이가 각각 4cm와 10cm이고, 작은 삼각형 A의 넓이가 12cm²일 때 큰 삼각형 B의 넓이를 구하는 문제를 제시했다. 학생은 처음에 B 넓이=12×5/2=30cm²라고 작성했다. 10÷4를 계산하여 길이 배율을 5/2로 찾은 부분은 맞았다. 그러나 그 배율을 넓이에 한 번만 곱한 것이 처음 달라진 판단이었다.

교사는 “밑변이 5/2배가 되면 높이도 같은 배율로 변할까?”라고 물었다. 학생이 “닮은 삼각형이므로 높이도 5/2배”라고 말하자, 교사는 밑변과 높이에 각각 5/2를 곱하는 한 단계만 보여 주었다. 밑변과 높이가 모두 5/2배이므로 넓이는 25/4배라는 부분까지만 설명하고, 이후 계산은 학생이 직접 이어 쓰게 했다. 이 오답 하나만으로 넓이와 길이의 관계를 전혀 모른다고 결론 내리지 않고, 질문에 대한 답과 풀이 줄이 일치하는지 확인했다.

닮음비를 제곱한 수정 풀이와 다른 방식의 검산

학생은 기존 식에서 5/2를 한 번 곱한 부분을 지우고 다음과 같이 고쳐 썼다. 길이 배율은 10/4=5/2. 이어서 넓이 배율은 (5/2)²=25/4라고 적고, B의 넓이=12×25/4=75cm²로 마무리했다. 처음 풀이와 달라진 점은 길이 배율을 그대로 사용하지 않고, 밑변과 높이에 적용되는 두 배율을 곱하여 넓이 배율로 바꾼 것이다.

검산은 같은 곱셈을 다시 반복하는 방식으로 진행하지 않았다. 작은 삼각형의 밑변과 높이가 각각 5/2배가 되면 넓이는 두 배율의 곱만큼 변해야 한다. 따라서 넓이의 비는 (5/2)×(5/2)=25/4이고, 12cm²에 대한 증가량은 12×25/4이므로 75cm²가 조건과 맞는다. 학생은 “밑변과 높이가 각각 5/2배여서 넓이는 두 배율의 곱만큼 변한다”고 말하며 정답의 근거를 설명했다.

덕명동중등수학과외 수업에서는 학생이 식의 결과뿐 아니라 어떤 비를 먼저 구했고, 그 비를 왜 제곱하거나 제곱근으로 바꾸었는지까지 적게 한다. 다음 문제에서는 대표 문제의 오답과 수정 풀이를 가리고, 닮은 두 삼각형의 넓이비가 9:25이며 작은 대응변이 6cm인 조건만 남긴다. 학생은 도움 없이 넓이비에서 길이비 3:5를 찾고 큰 변 10cm를 계산한 뒤, (6/10)²=9/25로 확인해야 한다. 교사는 학생이 닮음비를 제곱해 넓이비를 만든다는 원리와, 반대로 넓이비에서 길이비를 찾을 때 제곱근을 사용한다는 이유를 직접 말하는지 확인한다.