전민동 중등수학과외

현 AB에 대해 P와 Q는 같은 쪽 호 위에 있는 서로 다른 점이고, A와 B와도 다르다. 이때 ∠APB=70°일 때 ∠AQB를 구하는 문제를 먼저 제시하자 학생은 두 꼭짓점의 위치를 표시한 뒤 잠시 멈췄다. 전민동중등수학과외 수업에서는 학생이 적은 답만 확인하지 않고, P와 Q가 현 AB의 어느 쪽에 놓였는지와 어떤 호를 바라보는지를 함께 말하게 한다. 학생은 “같은 현이므로 두 각이 같다”고 판단하여 ∠AQB=70°이라고 썼다. 하지만 이 문제에서는 P와 Q가 같은 쪽 호 위에 있으므로 두 원주각이 같은 반대쪽 호 AB를 본다. 따라서 이 새 문제의 답은 ∠AQB=70°이다.

같은 쪽 호에서 같은 각을 고른 이유

교사는 곧바로 풀이 전체를 고쳐 주지 않고 “P와 Q가 현 AB의 같은 쪽에 있나요, 반대쪽에 있나요?”라고 물었다. 학생은 문제의 조건을 다시 읽고 “같은 쪽 호 위에 있다”고 답했지만, 처음 작성한 계산 줄에는 그 조건이 드러나지 않았다. 이때 같은 현이라는 말만 보고 언제나 같은 각이라고 판단했는지, 아니면 꼭짓점의 위치를 확인하고도 식을 생략했는지는 오답 하나만으로 확정하지 않는다. 교사는 학생이 말한 답과 실제로 적은 식을 나란히 놓고, “두 꼭짓점이 같은 쪽이면 어떤 호를 보나요?”라고 한 번 더 물었다.

학생은 P와 Q가 모두 현 AB의 같은 쪽에 있으므로 두 각이 같은 반대쪽 호 AB를 본다고 설명했다. 교사는 같은 현에서 원주각의 크기를 비교할 때 현의 이름만 볼 것이 아니라 꼭짓점이 놓인 호의 위치를 먼저 확인해야 한다고 짚었다. 그런 다음 대표 문제의 조건을 가리고, 현 AB와 ∠APB=70°만 남긴 채 학생이 ∠AQB=70°을 직접 다시 쓰게 했다. 학생은 “같은 쪽 호에 있는 두 꼭짓점이 같은 호 AB를 보므로 보각으로 계산하지 않는다”고 덧붙였다. 처음 답과 수정 답은 숫자만 같지만, 수정 풀이에는 같은 쪽이라는 조건과 같은 호를 본다는 근거가 함께 들어갔다.

반대쪽 호에서는 왜 110°가 되는가

이제 비교할 대표 문제를 펼쳤다. 한 원의 현 AB에 대해 P와 Q가 서로 반대쪽 호 위에 있고 네 점이 서로 다르며, ∠APB=70°일 때 ∠AQB를 구하는 문항이다. 학생은 이번에도 처음에는 “같은 현이므로 ∠AQB=70°”이라고 썼다. 교사는 “이번 P와 Q는 같은 쪽인가요?”라고 물었고, 학생은 반대쪽이라고 표시했다. 교사는 계산을 대신 이어 가지 않고, P와 Q가 보는 두 호의 크기 합은 360°이므로 두 원주각의 합은 180°이라는 출발 문장만 제시했다.

학생은 꼭짓점이 놓인 호의 위치를 직접 확인한 뒤 다음과 같이 수정했다. P가 보는 호 AB의 크기는 140°이므로, Q가 보는 다른 호 AB의 크기는 360°-140°=220°이다. 따라서 ∠AQB=220°÷2=110°이다. 또는 두 원주각의 합을 바로 이용하여 ∠AQB=180°-70°=110°으로 적을 수 있다. 처음 풀이에서는 현 AB만 보고 두 각을 같게 만들었지만, 수정 풀이에서는 반대쪽 호에 놓인 꼭짓점이 서로 다른 호를 본다는 판단이 먼저 나왔다. 교사는 설명을 여기서 멈추고, 어느 호를 보는지 표시하고 계산하는 과정은 학생이 완성하게 했다.

두 풀이를 다른 방법으로 검산하기

학생이 적은 ∠AQB=110°가 계산 줄에만 남지 않았는지 확인하기 위해 같은 뺄셈을 반복하지 않는 검산을 시켰다. 학생은 네 점 A, P, B, Q가 원 위에 있으므로 APBQ를 원에 내접한 사각형으로 보고, 마주 보는 각의 합이 180°라는 관계를 적용했다. 실제로 70°+110°=180°이므로 대표 문제의 답과 조건이 일치한다. 이어 같은 쪽 호 문제에서는 P와 Q가 같은 반대쪽 호 AB를 보므로 두 각이 같다는 도형 관계를 말하게 했다.

다음에는 도움을 줄이고, 대표 문제의 조건만 남긴 뒤 기존 오답과 수정 풀이를 가린다. 학생은 P와 Q가 현 AB의 같은 쪽인지 반대쪽인지 먼저 표시하고, 같은 쪽이면 같은 호를 보는지, 반대쪽이면 서로 다른 호를 보는지 말한 다음 식과 답을 직접 적어야 한다. 막힐 때는 “반대쪽 호에 있으면 두 각은 서로 다른 호를 본다”는 문장까지만 다시 제시한다. 교사는 학생이 숫자만 반복하지 않고 꼭짓점의 위치와 바라보는 호를 근거로 ∠AQB=70° 또는 110°을 선택하는지 확인한다.