덕명동 고등수학과외

0/0을 답으로 쓰기 전에 허용 범위 확인하기

함수의 극한 단원에서 다음 문제를 만났다고 하자. lim(x→1)(x²−1)/(x−1)을 구하는 문제이며, x가 1로 가까이 간다는 조건이 주어져 있다. 이때 식에 x=1을 바로 대입하면 분자는 0, 분모도 0이 되어 0/0이 나온다. 만약 “0/0=0”이라고 답했다면, 그 한 번의 오답만으로 원인을 단정하지 않고 무엇을 혼동했는지 확인해야 한다. 함숫값과 극한을 같은 것으로 생각했는지, 좌우에서 x가 1에 가까워질 때 출력이 같은지 살피지 않았는지를 질문한다.

짧은 확인 질문은 “x=1이 아닌 가까운 x에서 식을 간단히 할 수 있는가?”이다. 여기서 약분은 x=1을 포함한 모든 범위에서 하는 것이 아니다. x²−1=(x−1)(x+1)이므로, x≠1인 근방에서는 (x−1)(x+1)/(x−1)=x+1로 바꿀 수 있다. 원래 식은 x=1에서 정의되지 않지만, 극한은 그 점 자체의 함숫값보다 가까운 입력에서의 출력을 본다. 교사는 이 식 변형과 조건을 함께 확인한 뒤, 결론은 학생이 직접 문장으로 설명하도록 한다.

약분한 식의 극한과 원래 식의 정의를 나누어 쓰기

학생이 수정 풀이를 직접 시도하면 “x≠1에서 원래 식은 x+1과 같고, x가 1로 가까워질 때 x+1의 극한은 2이다”라고 적는다. 정답은 2이다. 확인 근거는 x≠1인 근방에서 두 식의 값이 정확히 같으므로 같은 극한을 갖는다는 점이다. 0/0은 극한의 값이 아니라, 대입만으로는 판단할 수 없다는 신호다. x=1을 대입해 얻은 0/0과, x가 1에 가까워질 때의 출력이 2에 가까워진다는 사실을 따로 구분해야 한다. 좌우에서 접근하는 경우에도 약분한 식 x+1이 양쪽에서 같은 값으로 가까워지므로 결론이 일치한다.

이 과정을 배움노트 고등수학 수업의 문제 해결 기준으로 삼는다면, 계산 결과만 외우지 않고 식의 성립 조건까지 표시하게 된다. 특히 “약분했으니 원래 함수와 모든 점에서 같다”라고 쓰면 안 된다. 두 식의 일치는 x≠1에서만 성립하며, 극한을 구할 때 필요한 것은 1의 삭제된 근방에서의 일치다. 학생은 마지막에 “0/0은 값이 아니고, x=1이 아닌 가까운 곳에서는 x+1로 바꿀 수 있으므로 극한은 2이다”라고 자신의 말로 정리한다.

한 점의 함숫값을 바꾸어도 극한이 유지되는지 재적용하기

이제 문제와 필요한 수치만 남기고 풀이와 정답을 가린 상태에서 다음 문제를 다시 시작한다. f(x)=(x²−1)/(x−1) (x≠1), f(1)=7일 때 lim(x→1)f(x)와 f(1)을 각각 구하라. 학생은 먼저 “x=1이 아닌 가까운 x에서 식을 간단히 할 수 있는가?”에 답하고, x≠1에서 f(x)=x+1임을 직접 보인다. 따라서 극한은 2이고, 문제에서 따로 지정한 함숫값은 7이다. 정답은 lim(x→1)f(x)=2, f(1)=7이다. 근방의 출력은 2에 가까워지지만 한 점에서 함수값을 7로 정해도 그 극한은 바뀌지 않는다.

여기서는 같은 식의 표현만 바뀐 것이 아니라 x=1에서의 실제 조건이 달라졌다. 그러나 극한에 필요한 삭제된 근방의 식은 그대로이므로 결론은 유지된다. 재적용에서는 학생이 대입만 하고 끝내지 않는지 확인한다. 대입으로 얻은 0/0, x≠1에서의 간단한 식, 한 점에 지정된 함숫값을 각각 표시하고, 마지막에 극한과 함숫값을 분리해 대조하게 한다. 다음 점검에서도 문제와 조건은 남기되 해설을 가린 뒤, 약분의 허용 범위와 두 결과를 스스로 문장으로 설명하는지 확인한다.