대전봉명동 중등수학과외

“동위각과 이웃각의 합으로 180° 관계를 만들려면, 먼저 어떤 각을 옮겨야 할까?” 교사는 중1 학생에게 평행선 문제를 보여 주고 바로 계산하지 않게 했다. 대전봉명동중등수학과외 수업에서는 학생이 각의 위치를 말로 설명한 뒤 식을 쓰는 순서를 확인하기로 했다. 문제는 평행한 두 직선을 한 직선이 가로지를 때, 두 평행선 사이에서 가로지르는 직선의 같은 쪽에 있는 두 각이 72°와 x°일 때 x를 구하는 것이었다.

72°와 x°의 위치를 먼저 읽는 질문

학생은 그림에서 72°가 표시된 각과 x°가 표시된 각을 손가락으로 짚었다. 두 각이 평행선 사이에 있고 가로지르는 직선의 같은 쪽에 있다는 점은 찾아냈지만, 곧바로 “동위각인가요?”라고 물었다. 교사는 “보조 동위각 72°와 x가 직선각을 이루니?”라고 짧게 질문했다. 학생이 두 각이 같은 꼭짓점에서 맞닿아 있는지, 한 직선 위에 놓이는지 확인하도록 기다렸다.

이 질문에 학생이 그림의 기준을 고르지 못한다면 평행선에서 각의 관계를 다시 확인해야 한다. 반대로 같은 쪽 내각이라는 기준을 말하면서도 식의 결과만 어긋난다면 계산 과정을 한 줄씩 살펴볼 수 있다. 오답 하나만 보고 개념 전체를 모른다고 정하지 않고, 학생이 각의 위치를 어떻게 읽고 어떤 합을 선택했는지를 구분했다.

360°가 아니라 180°를 만드는 한 단계

학생이 처음 적은 풀이는 x=360−72=288이었다. 이 식은 여러 각의 내각 합에 360°를 사용한 것이다. 교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고, 72°인 각과 대응되는 동위각 하나를 그림에서 옮겨 표시했다. “이 동위각을 옮기면 72°와 x는 어떤 관계가 되지?”라고 묻자 학생은 두 각이 한 직선 위에서 이웃한다고 다시 확인했다.

교사는 같은 쪽 내각의 합이 180°라는 사실을 한 문장으로만 대조해 주었다. 학생은 표시된 동위각과 x가 이루는 이웃각의 합을 직접 만들고, “한 직선의 각이므로 180°”라고 설명한 뒤 식을 고쳐 썼다. 이때 필요한 도움은 동위각을 옮겨 관계를 보이는 한 단계였고, 180°에서 72°를 빼는 다음 계산은 학생이 직접 이어 갔다.

수정 풀이와 다른 방식의 검산

학생의 수정 풀이는 다음과 같았다. 같은 쪽 내각의 합은 180°이므로 x=180−72=108. 처음 풀이에서는 전체 내각 합을 사용해 360°에서 72°를 뺐지만, 수정 풀이에서는 동위각을 옮겨 72°와 x가 직선 위에서 이웃한다는 관계를 먼저 세웠다. 따라서 구하는 각은 x=108°이다.

검산은 같은 뺄셈을 반복하지 않도록 합으로 확인했다. 72+108=180이므로 두 각이 한 직선 위에서 이루는 이웃각 조건과 맞는다. 또한 72°의 동위각을 표시한 뒤 그 각과 x가 한 직선 위에 놓이는지 그림에서 대조했다. 계산값뿐 아니라 평행선의 위치와 직선각이라는 근거가 함께 맞아야 답을 확정하도록 했다.

같은 평행선에서 엇각으로 바뀐 적용

이제 조건을 바꾼 문제를 제시했다. 평행한 두 직선을 한 직선이 가로지를 때, 평행선 사이에서 가로지르는 선의 반대쪽에 있는 두 각이 72°와 x°라면 x를 구하는 문제다. 평행하다는 조건은 유지되지만, 같은 쪽 내각이 아니라 반대쪽 엇각으로 위치가 달라진다. 학생은 먼저 각의 위치를 표시한 뒤 “이번에는 두 각이 엇각이므로 같다”고 말해야 한다.

학생이 동위각 하나를 옮겨 180° 관계를 만드는 데 다시 막히면, 교사는 “동위각을 옮겨 보면 72°와 x가 180°를 이루지?”라는 한 관계만 되짚는다. 그다음에는 학생이 스스로 엇각이라는 기준을 선택하고 x=72°를 적는다. 엇각은 평행선에서 크기가 같으므로 같은 쪽 내각처럼 180°에서 빼지 않는다.

다음에는 대표 문제의 문제와 조건만 다시 제시하고 오답과 수정 풀이를 가린 뒤, 학생이 동위각과 이웃각의 합으로 180° 관계를 먼저 만들게 한다. 이어서 반대쪽 엇각 문제에서는 각의 위치를 직접 표시하고 x=72°를 적은 뒤, 왜 180°에서 빼지 않았는지 말하게 한다. 교사는 학생이 계산 결과만 맞히는지가 아니라 같은 쪽인지 반대쪽인지 구분하고, 그 위치에 맞는 관계를 식으로 남기는지를 확인한다.