죽동 중등수학과외

수업은 완전히 출발점으로 돌아오지 않는 새 문제에서 시작한다. 한 직선 길의 위치를 출발점 오른쪽은 양수로 정하고, 시간 t(분)에 따른 위치 s(m)가 (0,0), (2,100), (4,100), (6,40)으로 주어졌다고 하자. 죽동중등수학과외 수업에서는 학생이 그래프의 마지막 위치와 지금까지 움직인 거리를 같은 값으로 처리하지 않는지 먼저 확인한다.

마지막 위치 40m와 총 이동거리 160m

학생은 먼저 0분부터 2분까지 오른쪽으로 100m 이동했다고 표시했다. 2분부터 4분까지는 위치가 100m로 변하지 않으므로 정지한 구간이라고 적었다. 그러나 4분부터 6분까지 40m 위치로 돌아왔으니 마지막 위치가 40m이고, 총 이동거리도 40m라고 답하려는 순간 교사가 멈춰 세운다. 교사는 “마지막에 어디에 있나요?”와 “지금까지 움직인 길이는 얼마인가요?”를 따로 묻는다.

학생은 마지막 위치는 출발점 오른쪽 40m라고 말하지만, 이동한 길이를 계산할 때는 100m에서 40m를 뺀 60m만 적었다. 교사는 위치는 기준점에서의 현재 자리이고, 이동거리는 각 구간에서 실제로 움직인 길이를 차례로 더한 값이라고 한 단계만 설명한다. 학생은 그래프의 세 구간을 나누어 100+0+60=160m라고 고쳐 쓴다. 따라서 이 문제의 총 이동거리는 160m, 마지막 위치는 출발점 오른쪽 40m이다. 2~4분에는 위치가 일정하므로 정지했다는 판단도 함께 남긴다.

검산할 때는 끝 위치만 다시 읽지 않는다. 각 구간의 위치 변화량에 절댓값을 붙이면 |100-0|+|100-100|+|40-100|=100+0+60=160m가 된다. 한편 마지막 위치는 40m이므로, 누적 이동거리 160m와 서로 다르다. 학생은 “돌아온 뒤에도 출발점까지 가지 않았지만, 돌아오는 동안 60m를 움직였기 때문에 총 이동거리에는 포함한다”고 설명한다.

7분 뒤 출발점에 있을 때 생기는 오답

이제 비교할 대표 문제를 제시한다. 한 직선 길 위를 연속적으로 왕복하며, 시간 t(분)과 출발점에서의 거리 d(m)의 그래프가 (0,0), (2,120), (5,120), (7,0)으로 주어진다. 인접한 점은 선분으로 연결되어 있다. 학생의 처음 답안은 “7분에 0m이므로 전체 이동거리는 0m.”였다. 마지막 위치를 읽은 부분 자체는 맞지만, 그 값을 전체 이동거리로 바꾼 판단에서 그래프의 움직임을 놓쳤다.

교사는 원인을 곧바로 단정하지 않고 “갔다가 돌아온 두 구간을 각각 얼마나 움직였나요?”라고 묻는다. 학생이 첫 구간은 120m, 마지막 구간도 120m라고 말하는지 확인한 뒤, 말로 설명한 기준과 실제로 적은 계산이 같은지 대조한다. 학생이 두 구간의 길이를 말하면서도 답안에는 0m만 적었다면, 출발점에서의 거리와 지금까지 움직인 거리를 옮겨 적는 과정에서 구분했는지도 다시 확인한다.

멈춤 구간을 표시하고 왕복 거리를 더하기

교사는 그래프의 2분과 5분 사이 선분이 수평이라는 점만 표시한다. 학생은 이 표시를 근거로 2~5분에는 d가 120m로 일정하므로 멈춰 있다고 적는다. 그다음 교사가 완성된 식을 대신 써 주지 않고, “움직인 구간의 거리 크기만 더해 보세요”라고 맡긴다. 학생은 나갈 때 120m, 돌아올 때 120m이므로 120+120=240m라고 직접 수정한다.

정답은 2~5분 정지, 전체 이동거리 240m이다. 검산은 마지막 값 0m를 정답으로 되풀이하지 않고 구간별 거리 변화로 한다. 각 구간 거리 변화의 크기는 120m, 0m, 120m이고, 합은 120+0+120=240m이다. 따라서 7분 뒤 출발점의 거리가 0m라는 사실은 현재 위치를 나타낼 뿐, 왕복하며 이동한 누적 길이와 같지 않다.

다음 그래프에서 혼자 남길 풀이의 근거

다음 수업에서는 대표 문제의 자료는 그대로 두되 기존 풀이와 정답을 가리고, 학생이 풀이 첫 줄에 왕복 구간의 이동거리 크기를 먼저 더하는지 확인한다. 새 조건 문제에서는 한 직선 길의 위치 s(m)를 이용해 (0,0), (2,100), (4,100), (6,40)을 다시 제시하고, 총 이동거리와 마지막 위치를 각각 구하게 한다. 학생은 2~4분 정지를 표시하고, 위치 변화량의 절댓값을 더해 160m를 구한 뒤 마지막 위치가 출발점 오른쪽 40m라고 설명해야 한다. 교사는 구간별 계산 100+0+60과 마지막 위치 40을 조건과 대조하는 근거가 풀이에 남아 있는지 확인한다.