봉선동 고등수학과외

“중심 (−1,2,−3), 반지름 16”에서 멈추지 않기

구 (x−1)²+(y+2)²+(z−3)²=16의 중심과 반지름을 묻는 문제에서 이렇게 답했다면, 먼저 결과만 보고 한 번에 원인을 확정하지 않는다. 학생의 예시 답안은 “중심 (−1,2,−3), 반지름 16.”이었다. 이때 “거리 제곱에서 빼는 중심 좌표와 반지름 제곱을 구별했는가?”라고 묻고, 각 괄호 안의 식을 0으로 만드는 x, y, z의 값을 직접 표시하게 한다. 이어 오른쪽 수가 반지름 자체인지 반지름의 제곱인지 식 옆에 구분해 적게 한다. 평면의 원에서 익힌 규칙을 공간으로 옮기는 과정에서 한 좌표를 빠뜨렸는지, 부호를 그대로 읽지 못했는지, 제곱값을 반지름으로 착각했는지를 각각 확인할 수 있다.

세 방향의 변위와 괄호의 부호를 다시 읽기

공간에서 중심 C(a,b,c)와 점 P(x,y,z) 사이의 거리는 세 방향 변위의 제곱합으로 정리되어 거리의 제곱이 (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²가 된다. 따라서 구의 방정식은 중심까지 거리의 제곱을 반지름의 제곱과 같게 둔 식이다. (x−1)²에서는 x=1, (y+2)²에서는 y=−2, (z−3)²에서는 z=3일 때 각 괄호가 0이므로 중심은 (1,−2,3)이다. 이 비교까지만 제시하고 남은 계산은 학생이 직접 적는다. 오른쪽 16은 반지름의 제곱이고, 반지름은 길이이므로 양의 제곱근을 취해 4가 된다. 점 (5,−2,3)을 대입하면 중심에서 한 방향으로만 4만큼 떨어져 거리가 4이며, 식의 왼쪽도 16이 되어 구 위의 점이라는 사실을 확인할 수 있다.

표현이 바뀌어도 조건을 남겨 다시 적용하기

다음에는 문제와 조건만 남기고 풀이와 정답을 가린다. x²+y²+z²−2x+4y−6z−2=0의 중심과 반지름을 구할 때는 먼저 x²−2x, y²+4y, z²−6z를 각각 완전제곱으로 묶는다. 그러면 (x−1)²−1+(y+2)²−4+(z−3)²−9−2=0이므로 (x−1)²+(y+2)²+(z−3)²=16이다. 따라서 중심은 (1,−2,3), 반지름은 4이다. 표준형을 다시 전개했을 때 원래의 이차항, 일차항, 상수항이 모두 복원되는지 대조한다. 이는 같은 내용을 기호만 바꾼 것이 아니라 전개형에서 표준형으로 연결하는 조건을 확인하는 과정이다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이 식의 풀이·정답·유도 표시를 가린 뒤, “거리 제곱에서 빼는 중심 좌표와 반지름 제곱을 구별했는가?”에 맞는 근거를 고르게 한다. 마지막으로 공간 그림의 겉모양에 의존하지 않고 x, y, z의 변화량을 각각 적게 하여 중심의 부호와 반지름의 제곱을 다시 점검한다.