상동 중등수학과외

윗면을 제외한 상자의 바깥쪽 면부터 확인하기

새 문제를 먼저 제시한다. 가로 2cm, 세로 3cm, 높이 5cm인 윗면 없는 직육면체 상자의 바깥쪽 면 넓이 합을 구하되, 두께는 무시한다. 상동중등수학과외 수업에서는 학생이 곧바로 숫자를 계산하기보다 문제에 실제로 존재하는 면을 표시하게 한다. 윗면이 없으므로 닫힌 직육면체의 여섯 면을 그대로 세면 안 되고, 밑면 하나와 네 개의 옆면만 남는다. 학생은 밑면을 2×3=6cm², 서로 마주 보는 옆면을 각각 2×5=10cm²와 3×5=15cm²로 적는다. 따라서 바깥쪽 면 넓이 합은 6+10+10+15+15=56cm²이다. 이때 교사는 “빠진 면은 어느 면인가?”라고 묻고, 학생이 윗면의 크기와 위치를 직접 표시하는지 확인한다.

모서리의 합과 면 넓이를 구별하는 질문

비교할 대표 문제는 가로 2cm, 세로 3cm, 높이 5cm인 직육면체의 겉넓이를 구하는 문제다. 학생은 처음에 겉넓이=4(2+3+5)=40cm²라고 작성했다. 새 문제에서 윗면을 제외해야 한다는 조건은 잠시 남겨 두고, 이 풀이가 무엇을 계산했는지부터 살핀다. 학생에게 “2+3+5는 길이의 합일까, 넓이의 합일까?”라고 묻자 학생은 세 변의 길이를 더한 것이라고 설명한다. 그러면 질문에 대한 말과 오답의 첫 계산은 일치하지만, 그 값에 4를 곱해 겉넓이라고 부른 지점에서 판단이 달라진다. 오답 하나만 보고 개념 전체를 단정하지 않고, 학생이 면을 떠올리지 못한 것인지 단위를 잘못 붙인 것인지 구분한다.

교사는 필요한 만큼만 “4(2+3+5)는 모든 모서리 길이의 합이다.”라고 설명한다. 여기서 식 전체를 대신 완성하지 않는다. 학생은 모서리와 면을 구별한 뒤, 면은 두 길이를 곱해 만든다는 기준을 적용한다. 2×3=6, 2×5=10, 3×5=15이므로 서로 다른 면 넓이는 6, 10, 15cm²이고 각각 마주 보는 면이 한 장씩 더 있다. 학생이 직접 겉넓이=2(6+10+15)=2×31=62cm²라고 고쳐 쓴다. 처음 풀이의 4(2+3+5)는 모서리 길이를 세었지만, 수정 풀이에서는 두 길이씩 곱해 면을 세었다는 차이를 학생의 식으로 확인한다.

수정한 풀이를 다른 방식으로 검산하고 조건을 되돌려 보기

62cm²가 맞는지는 같은 곱셈을 반복하지 않고 여섯 면을 펼쳐 생각해 확인한다. 밑면과 윗면은 각각 2×3=6cm², 앞뒤 면은 각각 2×5=10cm², 양옆 면은 각각 3×5=15cm²이다. 따라서 6+6+10+10+15+15=62cm²가 된다. 이 검산은 모서리 길이의 합이 아니라 실제 면 여섯 장의 넓이를 더한 것이므로, 처음의 40cm²와 계산 대상이 다르다는 점도 드러낸다. 학생이 정답만 읽지 않고 “면을 두 장씩 세었기 때문에 2를 곱했다”고 설명하는지 기록한다.

이제 처음에 남겨 둔 윗면 없는 상자 문제로 돌아온다. 닫힌 직육면체의 겉넓이 62cm²에서 제외된 윗면의 넓이 2×3=6cm²를 빼면 62-6=56cm²이다. 실제로 존재하는 면만 더해도 밑면 6과 옆면 10, 10, 15, 15의 합이 56cm²로 일치한다. 원래 문제를 바꾸지 않고 풀이 부분만 가린 뒤, 학생이 모서리와 면을 구별해 두 길이씩 곱하고, 마지막에 여섯 면의 합을 이용해 닫힌 직육면체 조건을 확인하는지 살핀다. 다음에는 이 검산 근거를 혼자 말한 뒤 윗면을 제외한 이유까지 설명하는지를 확인한다.