범어동 중등수학과외

오전 9시부터 오전 10시 전까지 모두 찾기

학생은 먼저 “10분, 15분마다 울리는 두 신호가 오전 9시에 함께 울렸다. 오전 9시를 포함하고 오전 10시는 포함하지 않을 때 함께 울리는 시각을 모두 구하라”는 문제를 받았다. 범어동중등수학과외 수업에서는 숫자를 바로 더하기보다, 시작 시각과 끝 시각의 조건을 먼저 표시하게 했다. 학생은 10분과 15분의 최소공배수가 30분이라는 풀이를 적고, 오전 9시에서 30분씩 이동했다. 따라서 오전 9시와 오전 9시 30분에 함께 울린다. 오전 10시는 다음 동시 신호이지만 ‘오전 10시는 포함하지 않는다’는 조건 때문에 목록에서 제외한다.

교사는 이 문제에서 유지되는 원리가 최소공배수 주기라는 점을 짚되, 대표 문제의 풀이를 먼저 보여 주지는 않았다. “시작 시각은 포함하니 몇 분 뒤부터 세지?”라고 묻자 학생은 0분도 함께 울리는 시각에 포함된다고 표시했다. 또 “끝 시각은 왜 쓰지 않지?”라는 질문에는 오전 10시가 구간의 끝이므로 제외한다고 답했다. 이렇게 새 문제에서는 한 번의 시각만 찾는 것이 아니라 시작 포함·끝 제외 구간 안의 모든 시각을 골라야 한다는 판단을 남겼다.

18과 24의 배수를 나열하는 데서 막히면 배수의 뜻과 소인수분해부터 확인합니다. 배수는 찾지만 두 주기를 더한다면 시간표에 각 신호를 표시해 공통 시각을 비교합니다. 최소공배수는 구하면서 시각 목록에서 실수한다면, 시작 포함·끝 제외 조건을 따로 표시하는 연습으로 이어갑니다.

18분과 24분을 더해 42분이라고 한 장면

이제 비교할 대표 문항은 “18분과 24분마다 울리는 두 신호가 오전 9시에 함께 울렸다. 그 뒤 처음 함께 울리는 시각은?”이다. 학생은 처음에 18+24=42분이라고 계산하여 오전 9시 42분이라고 썼다. 18분과 24분을 각각 한 번씩 지나면 두 신호가 모두 울릴 것이라고 판단한 것이다. 18분과 24분을 알고 있었다는 점은 맞지만, 두 주기를 더하는 것이 동시 신호의 조건인지 확인하지 않은 순간부터 풀이가 달라졌다.

교사는 오답 하나만 보고 원인을 단정하지 않고 짧게 확인했다. “42÷18과 42÷24가 각각 정수인가?”라고 묻고 학생이 계산 줄을 직접 쓰게 했다. 42÷18은 정수가 아니고 42÷24도 정수가 아니므로, 42분에는 두 신호가 동시에 울리지 않는다. 이어 “동시에 울린다는 말은 두 주기와 합의 관계일까, 배수의 관계일까?”라고 물었다. 학생이 ‘각 주기를 몇 번 지난 시간이 모두 같아야 한다’고 말하는지와 실제 식을 어떻게 적는지를 함께 확인했다.

각 주기의 배수에서 처음 겹치는 수 찾기

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고 출발점만 한 단계 시범으로 제시했다. 18=2×3², 24=2³×3이라고 적으며 “각 신호가 울리는 경과 시간은 자기 주기의 배수다”라고 설명했다. 그다음은 학생이 맡았다. 학생은 0 다음에 두 배수가 처음 겹치는 수를 찾아야 했다. 18의 배수는 18, 36, 54, 72이고 24의 배수는 24, 48, 72이므로 처음 겹치는 양의 시간은 72분이다.

학생은 수정 풀이를 직접 완성하여 18=2×3², 24=2³×3, 최소공배수는 72분이라고 적었다. 오전 9시에서 72분 뒤를 계산하여 최종 답을 오전 10시 12분으로 고쳤다. 처음 풀이의 42분은 두 주기를 더한 값이었지만, 수정 풀이에서는 두 신호의 배수가 처음으로 겹치는 시간을 찾았다는 차이가 식에 드러났다.

나눗셈과 더 작은 배수로 확인하기

검산은 72를 다시 계산하는 방식으로 끝내지 않았다. 72÷18=4, 72÷24=3이므로 72분은 두 주기의 배수임을 확인했다. 동시에 더 작은 18의 양의 배수인 18, 36, 54를 차례로 살펴보면 어느 것도 24의 배수가 아니다. 따라서 72분보다 이른 공통 배수는 없고, 오전 10시 12분이라는 시각도 오전 9시에서 72분 뒤라는 조건과 일치한다.

다음에 같은 대표 문제를 다시 제시할 때는 기존 오답과 수정 풀이, 정답을 가리고 조건만 남긴다. 학생이 0 다음으로 처음 겹치는 두 배수를 찾고, 왜 더하기가 아닌 배수 비교인지 도움 없이 말하는지를 확인한다. 막히면 “각 신호가 울리는 경과 시간은 자기 주기의 배수다”까지만 다시 보여 주고 다음 계산은 학생이 직접 쓰게 한다. 이어 10분과 15분 신호 문제에서는 최소공배수 30분을 이용해 오전 9시와 9시 30분만 적고, 오전 10시를 제외한 이유까지 설명하는지 확인한다.