가천동 중등수학과외

“4x+6y=12, 9x−6y=5”라는 답안에서 시작하기

연립일차방정식 2x+3y=12, 3x−2y=5를 풀라는 문제에서 학생은 먼저 “4x+6y=12, 9x−6y=5”라고 적었습니다. 계수를 맞추려는 방향은 보였습니다. 첫 식의 x와 y 계수를 2배하고, 둘째 식의 x와 y 계수를 3배하려 한 점은 가감법의 출발과 맞닿아 있습니다. 다만 원래 식과 대조하면 두 변형식의 우변이 그대로 남아 있습니다. 이번 장면에서는 가천동중등수학과외 수업에서 학생이 계산을 많이 했는지가 아니라, 식을 변형할 때 어느 항까지 같은 배를 해야 하는지를 직접 판단하는 데 초점을 둡니다.

교사는 곧바로 풀이 전체를 다시 설명하지 않고 짧게 물었습니다. “원래 식의 상수도 같은 배를 해야 할까?” 학생이 x와 y의 계수만 바꾸면 된다고 답한다면, 계수 조정의 기준 자체를 다시 확인해야 합니다. 반대로 모든 항을 같은 배로 해야 한다는 기준은 말하지만 우변 계산만 다르게 적었다면, 개념을 단정하기보다 각 계산 줄을 차례로 확인합니다. 이렇게 질문과 답을 나누면 배수의 우변 누락이 판단의 문제인지 계산 과정의 문제인지 좁혀 볼 수 있습니다.

첫 식의 2배와 둘째 식의 3배를 끝까지 맞추기

교사는 한 단계만 제시했습니다. “첫 우변은 24, 둘째 우변은 15야.” 그다음 줄은 학생이 직접 완성하도록 두었습니다. 학생은 원래 식 전체에 같은 배를 적용하여 첫 식을 2배하면 4x+6y=24, 둘째 식을 3배하면 9x−6y=15라고 고쳐 썼습니다. 처음 답안의 4x+6y=12와 9x−6y=5에서 달라진 부분은 계수만이 아니라 상수항도 각각 2배, 3배가 되었다는 점입니다.

이제 학생은 두 식을 더해 y항을 없앴습니다.

(4x+6y)+(9x−6y)=24+15
13x=39, x=3

x=3을 첫 식에 대입하여 2×3+3y=12, 3y=6, 따라서 y=2를 얻었습니다. 교사는 마지막 계산까지 대신 말하지 않고, 학생이 “양변에 같은 배를 적용해야 식의 값이 유지된다”고 자신의 말로 설명하는지 확인했습니다.

대입으로 답을 확인하고, 같은 배수인 두 식을 구별하기

수정 풀이의 검산은 같은 가감 계산을 반복하지 않고 원래 두 식에 답을 직접 넣는 방식으로 진행했습니다. 2×3+3×2=6+6=12이고, 3×3−2×2=9−4=5이므로 (x,y)=(3,2)는 두 식을 모두 만족합니다. 학생은 처음 답안에서 우변을 빠뜨렸을 때 원래 조건과 달라졌지만, 수정 후에는 각 식에 대입해 결과가 각각 12와 5가 되는지 확인했습니다.

새 문제는 2x+3y=12, 4x+6y=24의 해가 하나인지 무수히 많은지 판단하는 문항입니다. 이번에는 계수를 맞춘 뒤 둘째 식 전체가 첫 식의 2배가 됩니다. 둘째 식에서 첫 식의 2배를 빼면 0=0이 나오지만, 이를 하나의 해로 정하면 안 됩니다. 두 식이 같은 조건을 나타내므로 첫 식을 만족하는 모든 순서쌍이 해입니다. 예를 들어 (0,4), (3,2), (6,0)은 모두 두 식을 만족하므로 해가 무수히 많습니다.

다음 확인에서는 오답과 수정 풀이를 가린 채 원래 문제를 다시 제시합니다. 학생이 첫 우변 24와 둘째 우변 15를 스스로 계산하고, 변형한 식의 양변 배수를 맞춘 뒤 가감하는지 관찰합니다. 이어 새 문제에서도 두 식 전체가 같은 배수인지 먼저 판단하고, 소거 결과 0=0을 하나의 해로 오인하지 않는 근거를 말하는지 확인합니다.