신매동 중등수학과외

“완전제곱수의 제곱근만 계수로 쓴다는 뜻이 무엇일까?”

수업은 학생이 근호를 정리할 때 무엇을 계수로 밖에 내는지 스스로 확인하는 질문으로 시작한다. 교사는 칠판에 “완전제곱수의 제곱근만 계수로 쓴다”라고 적고, 곧바로 계산을 대신하지 않는다. 신매동중등수학과외 수업에서는 학생이 식의 결과만 말하지 않고, 어떤 수가 근호 밖으로 나올 수 있는지 그 기준을 먼저 선택하게 한다.

교사는 “근호 안의 수를 제곱수와 나머지로 나눌 때, 밖으로 나오는 수는 무엇이어야 할까?”라고 짧게 묻는다. 학생이 근호 안의 9를 그대로 계수로 옮겨도 되는지 망설이면, 교사는 √90=√(9×10)까지만 적는다. 이어서 “9의 제곱근은 얼마지?”라고 묻고, √9=3이라는 한 관계만 확인한다. 그다음 줄은 학생이 직접 결정하도록 기다린다.

√90=9√10이라는 답을 기준과 대조하기

학생은 대표 문제인 “√6×√15를 간단히 하라”를 풀면서 먼저 두 양의 근호의 곱을 하나의 근호로 묶어 √(6×15)=√90이라고 적었다. 여기까지는 곱셈 조건을 사용한 과정이 맞다. 그러나 학생은 90을 9×10으로 나눈 뒤 √90=9√10이라고 써서 9를 그대로 밖에 냈다.

교사는 이 한 번의 오답만으로 원인을 정하지 않고, 학생이 기준을 선택할 수 있는지 먼저 확인한다. “(9√10)²을 90과 비교해 보자”라고 말하자 학생은 (9√10)²=81×10=810이라고 계산한다. 따라서 9√10은 원래의 √90과 같지 않다. 학생이 왜 다른지 설명하지 못한다면 완전제곱수의 제곱근을 계수로 쓰는 기준을 다시 확인한다. 반대로 기준은 말할 수 있는데 결과만 달라졌다면, 9의 제곱근을 구하는 과정에서 어느 줄이 바뀌었는지 한 줄씩 살핀다.

9가 아니라 √9=3을 밖에 쓰는 수정

교사의 제한된 설명 뒤 학생은 직접 식을 다시 쓴다. 먼저 √90=√(9×10)으로 분해하고, 9가 아니라 그 제곱근인 3을 계수로 적어 √90=3√10이라고 결론 낸다. 교사는 “왜 3만 밖에 썼지?”라고 묻고, 학생은 “9는 완전제곱수이고, 그 제곱근이 3이기 때문”이라고 식과 말로 근거를 남긴다.

수정 풀이의 핵심은 처음처럼 90을 9×10으로 나누는 데 있지 않다. 달라진 부분은 제곱 인수 자체를 계수로 옮기지 않고, 그 제곱근을 계수로 선택한 점이다. 학생은 이제 √90=√(3²×10)=3√10으로도 같은 이유를 표현할 수 있다.

제곱으로 확인하고, 완전제곱 결과에 적용하기

검산은 같은 나눗셈을 반복하지 않고 제곱으로 진행한다. 수정한 식의 오른쪽을 제곱하면 (3√10)²=3²×10=90이므로 √90과 일치한다. 원래의 곱으로도 확인한다. 두 근호가 양수이므로 (√6×√15)²=6×15=90이고, 수정한 답을 제곱한 값과 같아진다. 이 확인을 통해 학생은 결과가 맞다는 말보다, 양변을 제곱해 같은 수가 되는지 근거를 제시한다.

적용 문제에서는 조건을 바꾼다. “√6×√24를 간단히 하라”에서는 곱의 피제곱수가 완전제곱수가 되도록 했다. 학생은 먼저 √6×√24=√(6×24)=√144로 정리하고, 144의 제곱근을 구해 12라고 답한다. 이번에는 최종 답에 근호가 남는지까지 확인해야 한다. 12²=144=6×24이고 두 근호가 양수이므로 이 답은 조건과도 맞는다. 다음에 대표 문제를 다시 제시할 때는 문제와 조건만 남기고 오답과 수정 풀이를 가린다. 학생이 도움 없이 완전제곱수의 제곱근만 계수로 쓰는지, 새 문제에서도 같은 기준을 스스로 고르는지 식의 다음 줄과 제곱 검산에서 확인한다.