상동 수학과외

대표 문제에서 어긋난 판단

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 입력집합이 {1, 2}이고, 1은 3에, 2도 3에 대응할 때 이 대응이 함수인지 묻는 문제입니다. 처음에는 “출력이 겹쳐 함수가 아니다.”라고 판단할 수 있습니다. 하지만 이 결론은 함수의 조건을 입력이 아니라 출력의 관점에서 확인한 데서 어긋났습니다. 이 문제에서 확인해야 할 것은 서로 다른 입력이 같은 출력을 갖는지 여부가 아니라, 입력 하나에 출력이 하나로 정해지는지입니다. 입력 1에는 출력 3 하나가 정해져 있고, 입력 2에도 출력 3 하나가 정해져 있으므로 두 입력의 출력이 같아도 함수의 조건을 만족합니다.

오답의 원인을 함께 구분하는 과정

교사는 처음 답을 곧바로 개념 오해라고 단정하지 않고 “함수인지 판단할 때 입력과 출력 중 어느 쪽을 먼저 확인했나요?”라고 묻습니다. 이어 “입력 1에서 화살표가 몇 개 나오고, 입력 2에서는 몇 개 나오나요?”라고 대표 문제의 조건을 다시 보게 합니다. 학생이 함수의 조건을 말로 설명할 수 있지만 이 문제에서만 출력을 비교했다면, 개념 전체를 모른다기보다 조건을 적용하는 방향을 잘못 잡았을 가능성이 있습니다. 반대로 ‘입력 하나에 출력 하나’라는 뜻을 설명하기 어렵다면, 먼저 함수의 정의를 짧은 예로 함께 확인한 뒤 대표 문제에 다시 적용합니다.

교사는 입력 1과 입력 2를 각각 출발점으로 삼아, 두 출발점에서 화살표가 하나씩만 나오는지를 짚습니다. 서로 다른 입력이 하나의 출력으로 모이는 것은 허용되지만, 하나의 입력에서 서로 다른 출력 두 개가 정해진다면 함수가 아닙니다. 또한 어떤 입력에 출력이 전혀 정해지지 않은 경우에도 이 대응을 함수라고 할 수 없습니다. 이 구분은 이 문제의 조건에 근거한 것이므로, 출력이 겹친다는 한 가지 사실만으로 함수 여부를 결정하지 않도록 안내합니다.

설명 뒤 학생의 수정 풀이와 검산

설명을 들은 뒤 학생은 처음의 판단에서 무엇을 바꾸었는지 문제 조건과 연결해 다시 풉니다. 먼저 입력집합의 원소를 확인하고, 입력 1에 3 하나가 대응하며 입력 2에도 3 하나가 대응한다고 씁니다. 그다음 함수의 조건을 “각 입력에 출력이 하나씩 정해지는 것”으로 적고, 두 입력의 출력이 같다는 사실은 함수 여부를 막지 않는다고 판단합니다. 따라서 이 대응은 함수입니다. 학생이 중간에서 막히면 교사는 입력 1의 대응만 함께 확인하고, 입력 2에 대한 판단과 최종 결론은 학생이 이어서 시도하도록 도움을 조절합니다.

검산할 때는 풀이를 같은 문장으로 반복하지 않고, 원래 대응 조건을 다시 확인합니다. 입력 1에서 화살표가 정확히 한 개 나오고, 입력 2에서도 화살표가 정확히 한 개 나오는지 살펴보면 함수 조건이 충족됩니다. 출력 3이 두 번 나타난다는 점은 이 검산에서 문제가 되지 않습니다. 이후에는 수정 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생이 문제의 조건만 보고 다시 판단하게 합니다. 답을 외워 쓴 것인지 확인하려면 “왜 출력이 같아도 함수인가요?”라고 근거를 말하게 하고, 필요하면 입력별 대응을 직접 다시 세어 보게 합니다.

새 조건에 적용하고 다음을 확인하기

이전 문제와 구분되는 새 적용 문제로, 입력 1, 2, 3이 각각 출력 5, 5, 7에 대응하는 경우를 살펴볼 수 있습니다. 바뀐 것은 입력이 하나 늘고 출력값이 달라진 점이지만, 판단에 필요한 조건은 같습니다. 입력 1에는 5 하나, 입력 2에도 5 하나, 입력 3에는 7 하나가 정해져 있으므로 이 대응도 함수입니다. 서로 다른 입력 1과 2의 출력이 같아도 각 입력의 출력이 하나씩이라는 조건을 만족하기 때문입니다.

추가로 입력 2와 4가 모두 출력 9에 대응하는 경우를 비교 자료로 사용할 수 있습니다. 여기서도 출력이 겹친다는 이유만으로 함수가 아니라고 할 수 없으며, 각 입력에 출력 하나씩이 정해져 있으므로 함수입니다. 다음 확인에서는 학생이 새 문제의 수치와 조건을 보고 이전 풀이와 정답을 가린 채 스스로 판단하는지 살핍니다. 특히 “출력이 겹쳐도 각 입력에서 화살표가 하나씩이면 함수”라는 근거를 설명하고, 입력 하나에 두 출력이 연결되거나 입력 하나가 빠진 경우와 구별하는지를 다음 수업에서 이어서 확인합니다.