두산동 중등수학과외

학생은 AB=AC인 삼각형 ABC에서 ∠A=40°일 때 ∠B와 ∠C를 구하는 문제를 풀고 있었다. 답안에는 B=C=140°라고 적혀 있었다. 교사는 먼저 문제의 조건과 학생의 답안을 나란히 놓고 물었다. “140°는 두 밑각의 합일까, 각각의 크기일까?” 두산동중등수학과외 수업에서는 정답을 바로 알려 주기보다, 학생이 적은 수가 삼각형의 조건을 실제로 만족하는지 말과 계산으로 확인하게 했다.

∠A=40°에서 남은 140°를 어떻게 나눌까

학생은 “삼각형의 세 각의 합이 180°이므로 180°-40°=140°”라는 계산까지는 정확하게 했다. 처음 달라진 판단은 그다음이었다. 남은 140°를 두 각에 나누어야 하는데, 이를 각각의 밑각 크기로 적은 것이다. 교사가 “B와 C를 더하면 몇 도가 되지?”라고 묻자 학생은 “140°”라고 대답했다. 이어 “그렇다면 B와 C가 각각 140°일 때 세 각의 합은 얼마지?”라고 질문했다. 학생은 40°+140°+140°=320°가 되어 삼각형의 조건과 맞지 않음을 확인했다.

교사는 이 한 번의 오답만으로 원인을 단정하지 않고, 학생에게 말로 다시 설명하게 했다. 학생은 “40°를 뺀 140°가 두 밑각에 남은 합”이라고 말했다. 그런데 답안에는 여전히 B=C=140°라고 적혀 있었으므로, 말로 알고 있는 기준과 실제로 옮겨 쓴 계산 사이에 차이가 있는지 대조했다. 이 과정에서 학생은 ‘합’과 ‘각각’을 구분해 표시했고, 계산을 시작하기 전에 남은 각의 수를 확인하기로 했다.

같은 두 밑각이라는 조건을 식으로 바꾸기

AB=AC이므로 같은 두 변의 맞은편 각인 ∠C와 ∠B가 같다. 따라서 먼저 B=C를 적고, ∠A를 제외한 두 각의 합을 계산한다.

B+C=180°-40°=140°

교사는 여기서 풀이 전체를 대신 완성하지 않고 “140°를 B와 C에 어떻게 나눌까?”라고 물었다. 학생은 두 밑각이 같다는 조건을 다시 확인한 뒤, 남은 합을 두 각에 똑같이 나누어 직접 다음과 같이 고쳐 썼다.

B=C=140°÷2=70°

따라서 최종 답은 ∠B=70°, ∠C=70°이다. 처음 풀이와 달라진 점은 140°를 각 하나의 크기로 쓰지 않고, 같은 두 밑각의 합으로 먼저 해석한 뒤 2로 나눈 것이다. 학생은 “두 밑각이 같으므로 합을 반씩 나눈다”고 자신의 수정 이유를 말로 설명했다.

대입이 아닌 조건 대조로 확인하는 검산

수정한 계산을 그대로 반복하지 않기 위해 두 가지 조건을 대조했다. 먼저 세 내각의 합을 확인하면 40°+70°+70°=180°이므로 삼각형의 각 조건을 만족한다. 다음으로 AB와 AC가 같다는 조건에 따라 그 맞은편 각 C와 B가 같아야 하는데, 실제로 두 각이 모두 70°이다. 처음 답인 140°와 달리 수정한 답은 각의 합과 이등변삼각형의 관계를 동시에 만족한다.

이제 조건을 바꾼 문제를 제시했다. AB=AC인 삼각형 ABC에서 B의 외각이 110°일 때 세 내각을 구하는 문제다. 이번에는 꼭짓각을 직접 주지 않고 밑각과 이웃한 외각을 연결해야 한다. 학생은 먼저 한 내각과 그 이웃한 외각의 합이 180°라는 점을 사용해 ∠B=180°-110°=70°이라고 적는다. AB=AC이므로 맞은편 밑각도 같아 ∠C=70°이고, 남은 꼭짓각은 ∠A=180°-70°-70°=40°이다.

새 문제의 검산은 외각과 내각의 관계로 먼저 확인한다. 70°+110°=180°이고, 세 내각도 40°+70°+70°=180°이다. 다음 수업에서는 대표 문제의 조건과 정답을 미리 보이지 않은 채 같은 문제를 다시 제시한다. 학생이 풀이 첫 줄에서 남은 140°를 두 밑각에 똑같이 나누고, 마지막에 세 내각의 합과 같은 두 밑각 조건을 스스로 대조해 설명하는지를 확인한다.