상동 고등수학과외

“부등식의 열린 끝점과 정수 조건을 각각 적용했는가?”라는 질문 앞에서 계산이 멈췄다고 하자. 이때 곧바로 개념을 외우게 하기보다, 학생이 부등식의 범위와 정수라는 조건을 실제로 어떻게 읽었는지 나누어 확인한다. 문제는 정수 x에 대해 −2<x≤3/2를 만족하는 모든 x를 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 −2, −1, 0, 1, 2라고 적은 이유를 먼저 설명해 보게 한다. “두 조건을 동시에 만족한다는 말을 합집합처럼 생각했는가?”, “해 구간은 찾았지만 정수 조건이나 끝점을 빠뜨렸는가?”라고 물으면 한 번의 오답만으로 원인을 확정하지 않고 풀이 과정을 살필 수 있다.

수직선에서 겹치는 범위와 끝점 표시하기

−2<x는 −2에서 열린 점으로 시작하고, x≤3/2는 3/2에서 닫힌 점으로 끝난다. 동시에 만족한다는 뜻은 두 조건을 모두 통과하는 겹친 부분을 고르는 것이다. 따라서 먼저 실수 범위 −2<x≤3/2를 수직선에 표시한 뒤, 정수해를 묻는다는 조건을 따로 적용한다. −2는 열린 끝점이므로 포함되지 않고, 3/2는 정수가 아니므로 그보다 작거나 같은 정수만 남는다. 이 과정을 말로만 넘기지 말고 학생이 직접 열린 점과 닫힌 점을 그린 다음, 후보 정수를 표시하게 한다.

후보를 원래 조건에 대입해 수정 풀이 완성하기

학생이 수직선에서 남은 수를 직접 골라 −1, 0, 1이라고 적었다면, 이를 원래 조건과 대조한다. −1은 −2보다 크고 3/2 이하이며, 0과 1도 두 조건을 모두 만족한다. 반대로 인접한 정수 −2는 −2보다 커야 한다는 조건에 걸리고, 2는 3/2 이하가 아니므로 제외된다. 이렇게 각 수를 대입해 확인하면 정답은 −1, 0, 1이다. 배움노트 고등수학 수업에서 중요한 부분도 답을 대신 제시하는 데 있지 않고, 학생이 경계와 허용 조건을 표시하고 스스로 검산하도록 돕는 데 있다.

표현이 바뀐 문제에 같은 기준으로 재적용하기

교사의 설명과 앞의 풀이를 덮은 상태에서 문제와 조건만 남겨 다시 시작한다. 실수 x가 x>−1과 2x≤6을 동시에 만족할 때 해집합을 구하는 문제다. 먼저 2x≤6을 x≤3으로 바꾸고 두 조건을 같은 수직선에 표시한다. 겹치는 범위는 −1<x≤3이므로 정답은 (−1,3]이다. 여기서는 실수 전체를 허용하므로 정수를 따로 나열하지 않는다. −1은 첫 조건에 맞지 않고, 3보다 큰 수는 둘째 조건에 맞지 않으며, 3은 포함된다. 문제의 표현만 달라진 것인지, 허용되는 수의 조건이 실제로 달라진 것인지 구분해 설명하게 한다. 열린 점과 닫힌 점, 정수 여부를 각각 표시하고 이 풀이와 답이 함께 맞을 때 다음 점검으로 넘어간다.