서부신시가지 고등수학과외

기본문제의 답과 풀이를 가린 채 다시 시작해 보자. 같은 정규모집단 N(20,36)에서 독립적으로 임의표본을 뽑을 때, 표본 크기를 9에서 36으로 늘리면 표본평균의 표준편차는 몇 배가 되는가? 먼저 “표준편차는 n에 비례하는가, √n에 반비례하는가?”에 답하고, 그 이유를 식으로 복원한다. 이렇게 답했다면 표본 수가 4배가 되었으니 표준편차도 4배라고 생각한 셈이다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이 한 문장만으로 원인을 확정하지 않고, 학생이 표본평균과 모집단의 값을 어떻게 구분하는지부터 확인한다.

표본 수 4배와 표준편차 4배를 구분하기

“표본평균은 표본이 달라질 때마다 달라지는가, 아니면 모집단의 확정값인가?”, “주어진 독립 임의추출 조건을 사용했는가?”라고 묻는다. 학생은 자신의 설명에서 표본 요약값을 모집단의 확정값처럼 읽었는지, 표본 크기의 역할과 추출 방법을 섞었는지 표시한다. 모집단 N(20,36)에서 평균은 20, 분산은 36, 표준편차는 6이다. 표본평균의 표준편차는 모집단 표준편차를 √n으로 나눈 σ/√n이므로 n에 비례하지 않는다. 표본평균과 표본비율은 표본마다 달라지는 통계량이며, 추정은 지정된 모집단과 추출 조건 안에서 해석해야 한다. 신뢰구간도 한 번의 결과를 확정하는 말이 아니라 같은 절차를 반복했을 때의 성질과 관련된다.

두 표본 크기를 식으로 비교해 답 고치기

학생이 후보를 직접 고른 뒤 원래 조건과 대조하게 한다. n=9일 때 표본평균의 표준편차는 6/√9=6/3=2이고, n=36일 때는 6/√36=6/6=1이다. 따라서 6/3=2에서 6/6=1로 바뀌므로 새 표준편차는 이전의 1/2배다. 학생이 “표본 수가 4배이므로 표준편차도 4배”라고 썼다면, 4를 그대로 곱한 값과 σ/√n에 대입한 값을 나란히 적어 어느 식이 조건에 맞는지 확인한다. 분산으로도 검산할 수 있다. 표본평균의 분산은 36/n이므로 9에서 36으로 바꾸면 4에서 1로 1/4배가 되고, 표준편차의 비율은 그 제곱근인 1/2이다. 이 비교를 통해 답뿐 아니라 표본 크기가 커질수록 표본평균의 흔들림이 줄어드는 근거를 남긴다.

조건을 남긴 채 다른 문제에 다시 적용하기

이번에는 문제와 필요한 자료만 남기고 풀이와 정답을 가린다. 모집단이 N(20,36)이고 독립적으로 임의추출한 크기 9인 표본의 평균 X̄의 평균과 표준편차를 구하라. 학생은 먼저 E(X̄)=20, V(X̄)=36/9=4를 적고 표준편차를 √4=2로 계산한다. 정답은 평균 20, 표준편차 2이며, 모집단 표준편차 6을 √9=3으로 나눈 값과 일치하는지 대조한다. 앞 문제의 표현만 바뀐 것인지, 표본 크기라는 실제 조건이 달라진 것인지도 구분한다. 마지막으로 학생이 “표본 크기와 흔들림의 관계는 σ/√n으로 확인된다”는 근거를 다시 쓰게 한다. 결과를 모집단 전체의 확정값처럼 단정하지 않고, 모집단·실제 표본·알려진 모수·추정할 모수를 각각 표시하는지 다음 점검에서 살핀다.