전민동 고등수학과외

조건을 표시하지 않은 표준화 예시부터 확인하기

정규분포와 표준화를 다룰 때는 계산을 시작하기 전에 분포의 기호와 조건을 먼저 표시해야 한다. 예를 들어 X~N(10,4)이고 Z~N(0,1)에서 P(0≤Z≤1)=0.3413이 주어졌을 때 P(10≤X≤12)를 구한다고 하자. 이때 “두 번째 수가 4이므로 표준편차는 4”라고 읽어 표준화 구간을 [0,0.5]로 적었다면, 결과만 보고 곧바로 개념을 단정하지 않는다. 먼저 “N(10,4)의 두 번째 수는 표준편차인가 분산인가?”라고 묻고, 학생이 분포의 정의와 표기를 직접 찾아 표시하게 한다.

일반적으로 X~N(μ,σ²)에서 두 번째 값은 분산 σ²이며, 표준편차는 σ=√(σ²)이다. 따라서 이 문제에서는 σ=√4=2이다. 원래 구간의 양 끝을 각각 평균에서 얼마나 떨어졌는지 계산하면 (10−10)/2=0, (12−10)/2=1이므로 X의 구간 [10,12]는 Z의 구간 [0,1]로 바뀐다. 여기서 표준편차와 분산을 혼동한 것인지, 표준화한 구간과 확률 자료를 연결하지 못한 것인지는 중간 결과를 함께 확인한 뒤 학생이 근거를 문장으로 설명하게 한다.

구간과 부호를 복원해 수정 풀이 쓰기

학생이 직접 수정한 풀이는 “σ=2이므로 Z=(X−10)/2이다. X=10일 때 Z=0이고 X=12일 때 Z=1이다. 따라서 P(10≤X≤12)=P(0≤Z≤1)=0.3413”과 같이 쓸 수 있다. 정답은 0.3413이다. 12가 평균 10에서 표준편차 한 개만큼 오른쪽에 있다는 점도 확인한다. 이 계산은 표준편차를 4로 두었을 때의 [0,0.5]와 다르며, 단순히 숫자를 바꾼 것이 아니라 분산을 표준편차로 바꾸는 정의를 적용한 결과다.

검산할 때는 주어진 표준정규확률과 변환된 구간의 방향이 맞는지 대조한다. 평균에서 오른쪽으로 이동한 값이므로 경계의 부호는 양수이고, 10과 12 사이의 구간은 평균에서 한 표준편차 이내의 오른쪽 부분이다. 특정 수치를 넣는 것은 계산을 확인하는 반례나 부분 검산으로 활용하고, 표준화 식 자체는 X~N(μ,σ²)와 Z=(X−μ)/σ라는 일반적인 근거로 설명해야 한다.

조건을 남긴 상태에서 다른 범위에 다시 적용하기

다시 확인할 때는 문제의 분포와 필요한 자료만 남기고 풀이와 정답은 가린다. X~N(10,4), Z~N(0,1), P(0≤Z≤1)=0.3413이라는 조건을 그대로 두고 P(X≥12)를 구하게 한다. 평균부터 12까지의 구간을 묻는 앞 문제와 달리 이번에는 12보다 큰 오른쪽 꼬리 전체를 묻는 실제 조건 변경이 있다. 학생은 먼저 “N(10,4)의 두 번째 수는 분산이므로 표준편차는 2”라고 근거를 적고, (12−10)/2=1을 경계로 바꾼다.

이후 P(X≥12)=P(Z≥1)이며, 표준정규분포의 오른쪽 절반 넓이 0.5에서 P(0≤Z≤1)=0.3413을 빼면 0.1587이다. 따라서 정답은 0.1587이고, 평균에서 오른쪽으로 한 표준편차보다 큰 영역이라는 조건과도 맞는다. 배움노트 고등수학 수업에서는 표에서 숫자만 찾기보다 원래 구간의 양 끝과 부호를 먼저 표시하고, Z의 구간과 확률 영역을 연결한 뒤 풀이를 완성했는지 다시 점검한다.