죽동 고등수학과외

가운데 항과 경계값부터 비교하기

실수 x에 대해 x²−6x+9를 인수분해하라는 문제에서 먼저 가운데 항을 살펴보자. 제곱식 (x−a)²를 전개하면 x²−2ax+a²가 된다. 따라서 일차항이 −6x가 되려면 −2a=−6, 즉 a=3이어야 하고, 상수항은 a²=9가 되어야 한다. 여기서 a=−3을 넣으면 (x+3)²=x²+6x+9가 되어 부호가 달라진다. 또 상수항 9만 보고 (x−9)²를 쓰면 x²−18x+81이 된다. 이 식은 원래 식과 상수항도, 가운데 항의 계수도 일치하지 않는다. 완전제곱식에서는 가운데 항과 상수항이 함께 결정되므로 한 값만 비슷하다고 정답이 되지 않는다.

오답을 전개해 원인을 나누어 확인하기

이렇게 답했다면 (x−9)²를 다시 전개해 x²−18x+81을 직접 적어 보게 한다. 원래 식 x²−6x+9와 세 항을 나란히 놓고 계수와 부호를 표시하면, 단순히 제곱근을 잘못 선택한 것인지 곱셈공식의 구조 자체가 익숙하지 않은지 구분할 수 있다. 확인 질문은 “(x−a)²를 전개했을 때 일차항과 상수항은 각각 무엇인가?”이다. 일차항은 −2ax, 상수항은 a²임을 알고 있다면 −2ax=−6x에서 a=3을 먼저 찾게 한다. 이후 a²=9도 맞는지 계산하고, 마지막에는 (x−3)(x−3)을 전개해 x²−6x+9가 되는지 직접 대조한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 교사가 답을 바로 고치기보다 학생이 계수·부호·성립 여부를 각각 적도록 하여 한 항의 우연한 일치와 식 전체의 동일함을 구별하게 한다.

풀이를 가린 뒤 조건이 바뀐 문제에 다시 적용하기

다음에는 문제와 조건만 남기고 앞서 제시한 풀이, 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. “실수 x에 대해 3x²−6x를 인수분해하라”는 문제를 보고 완전제곱식인지 공통인수로 묶는 식인지 먼저 판단한다. 3x²=3x·x, −6x=3x·(−2)로 두 항을 나란히 쓰면 공통인수 3x를 묶어 3x(x−2)가 된다. 이를 다시 분배하면 3x²−6x로 돌아오므로 정답과 두 항의 부호를 확인할 수 있다. 이는 같은 문제의 표현만 바꾼 것이 아니라, 완전제곱식에서 공통인수 묶기로 조건이 실제로 달라진 경우다. 학생이 첫 단계 없이 가운데 항을 판단할 식과 이유를 직접 작성하는지도 살핀다. 인수분해를 검산할 때는 한 인수의 각 항을 다른 인수에 차례로 곱해 원래 다항식의 계수와 부호가 모두 복원되는지 확인한다. 다음 학습에서도 문제의 조건, 선택한 구조, 풀이, 정답, 검산 근거를 남겨야 새로운 식에 같은 판단을 적용할 수 있다.