청당동 고등수학과외

이번에는 분자와 분모의 식이 달라진 문제를 먼저 놓고 시작한다. $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$, $x\in\mathbb R$의 도함수를 구하는 상황이다. 풀이와 정답을 보지 않은 채 문제와 조건만 확인하면, 분모의 제곱을 남기는지 스스로 점검할 수 있다. 배움노트 고등수학 수업에서는 새 식에 바로 공식을 대입하기보다, 이전에 몫의 미분을 몫으로 오해했던 기준부터 다시 세운다.

분자와 분모를 따로 미분한 답이 왜 흔들리는가

기본 문제를 $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$, $x\ne1$로 두고 “분자와 분모를 각각 미분해 $1/1=1$”이라고 답했다면, 그 한 번의 오답만으로 원인을 확정하지 않는다. 먼저 $\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$로 바꾸어도 기울기가 1인지 말하게 한다. 이어 분자 $u=x+1$, 분모 $v=x-1$를 직접 표시하게 하여, 몫을 미분할 때 두 식을 따로 나누는지 또는 공식을 알고도 분모의 제곱과 뺄셈 순서를 놓치는지 구분한다. 학생이 틀린 줄에 표시하고 바뀌어야 할 결론을 식으로 적게 하는 것이 출발점이다.

공식의 두 곱과 조건을 한 줄씩 대조하기

$v(x)\ne0$인 곳에서는 $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$이다. 교사는 완성된 답을 먼저 주지 않고 $u'v-uv'$, $v^2$를 각각 두 줄에 쓰게 한다. 기본 문제에서는 분자가 $(x-1)-(x+1)$이므로 $-2$가 되고, 분모는 반드시 $(x-1)^2$이다. 따라서 학생이 직접 $f'(x)=\frac{-2}{(x-1)^2}$를 만들며 $x\ne1$ 조건도 함께 남긴다. $1+2(x-1)^{-1}$을 미분해도 $-2(x-1)^{-2}$가 나오므로, 두 표현의 결과를 대조해 부호와 지수를 확인할 수 있다.

조건만 남긴 상태에서 달라진 식에 다시 적용하기

이제 $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$, $x\in\mathbb R$만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린다. 학생은 먼저 분자 $u=x$, 분모 $v=x^2+1$, $u'=1$, $v'=2x$를 표시한 뒤 $f'(x)=\frac{1\cdot(x^2+1)-x\cdot2x}{(x^2+1)^2}$를 완성한다. 정답은 $\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$이며, $x^2+1>0$이므로 모든 실수에서 정의된다. 같은 문제의 표현만 바꾼 것이 아니라 분모 자체가 달라졌으므로, 답을 외운 것인지 공식을 적용한 것인지도 구별된다. 마지막에는 원래 문제의 조건, 수정한 풀이, 정답, 분모의 제곱 표시를 가린 채 다시 시작해 독립적으로 재현하게 한다. 이후 몫의 미분을 반복해서 놓치면 $u'v-uv'$와 $v^2$를 먼저 적고, 부호와 정의역을 끝에서 다시 대조한다.