풍향동 고등수학과외

예시 답안에서 “aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=2n−1을 n=1에도 적용해 a₁=1”이라고 했다면, 먼저 이 계산이 모든 n에서 가능한지 확인해야 한다. 문제는 Sₙ=n²+2(n≥1)이 수열의 첫 n항의 합일 때 a₁과 n≥2인 aₙ을 구하는 것이다. 배움노트 고등수학 수업에서는 오답의 모양만 보고 암기 부족으로 단정하지 않고, 부분합과 일반항의 뜻, 차 공식의 적용 범위를 차례로 확인한다.

차 공식이 시작되는 번호를 확인하기

학생에게 “Sₙ은 한 항인가, 첫 n항을 더한 값인가?”, “aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁은 몇 번째 항부터 쓸 수 있는가?”라고 묻는다. 이어 “S₀을 주어진 식에 대입해도 되는가?”를 직접 판단하게 한다. 주어진 식은 n≥1에서만 정의되어 있으므로 S₀=0이라는 부분합의 의미를 사용할 수는 있어도, S₀에 n=0을 대입해 S₀=2라고 계산할 수는 없다. 따라서 n=1에서는 차 공식 대신 a₁=S₁을 먼저 써야 한다.

학생이 Sₙ을 aₙ 자체로 생각하는지 확인하려면 첫 항과 첫 두 항을 말로 구분하게 한다. S₁은 a₁이고, S₂는 a₁+a₂이다. n≥2에서는 두 부분합의 차가 aₙ이지만, n=1에서는 S₀이 문제의 식으로 주어지지 않았다는 조건을 표시해야 한다.

첫째항과 이후 항을 나누어 수정하기

학생이 직접 적을 수정 풀이는 다음과 같다. a₁=S₁=1²+2=3. n≥2이면

aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=(n²+2)-((n−1)²+2)=n²-(n−1)²=2n−1.

여기서 차례를 생략하지 않고, n≥2라는 조건을 식 옆에 남기는 것이 중요하다. 그러면 정답은 a₁=3, aₙ=2n−1(n≥2)이다. 부분 검산으로 a₂=3을 얻어 첫 두 항이 3, 3인지 확인하고, 그 합이 6=S₂인지 대조한다. 일반적으로 n≥2에서 구한 차들을 더하면 Sₙ−S₁이 되고, 여기에 a₁=S₁을 더하면 Sₙ이 복원된다. 다만 도출한 식 2n−1을 n=1에 넣었을 때 1이 나오므로, 이는 실제 첫째항 3과 일치하지 않는다. 따라서 n=1까지 같은 일반식이라고 쓸 수 없다.

조건을 남긴 채 다시 적용하기

다음 점검에서는 문제와 필요한 수치만 남긴다. “Sₙ=n²(n≥1)이 첫 n항의 합일 때 모든 n≥1의 일반항을 구하라”는 조건을 제시하고, 풀이와 정답은 가린 상태에서 시작한다. 학생은 먼저 “S₀을 주어진 식에 대입해도 되는가?”에 답한 뒤 a₁=S₁을 계산하고, n≥2에서는 Sₙ−Sₙ₋₁을 스스로 전개해야 한다. 이 경우 a₁=1이고 n≥2에서는 aₙ=n²−(n−1)²=2n−1이다. 이번에는 2n−1에 n=1을 대입해도 1이므로 전체에서 aₙ=2n−1(n≥1)로 정리할 수 있다. 표현만 바뀐 문제인지 조건 자체가 바뀐 문제인지 구별하고, 앞 n개의 홀수 합이 n²인지 귀납 또는 등차합으로 확인하게 한다. 마지막으로 첫째항 조건을 놓치지 않았는지, 도출한 식의 적용 구간과 부분합 복원이 모두 맞는지 표시하며 다음 풀이에서도 같은 확인 순서를 재현하는지 살핀다.