풍향동 수학과외

“중심이라 내부에 있다”는 판단은 어디서 어긋났을까

다음 문제에서 학생이 “둔각삼각형의 외심은 항상 중심이므로 삼각형 내부에 있다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 이 답은 ‘중심’이라는 말을 도형의 가운데라는 일상적 의미로만 해석한 데서 생겼을 수 있습니다. 문제에서 묻는 외심은 단순히 가운데에 있는 점이 아니라, 세 꼭짓점까지의 거리가 같은 점이며 세 변의 수직이등분선이 만나는 점입니다.

따라서 먼저 외심과 내심을 구별해야 합니다. 외심은 꼭짓점까지의 거리를 같게 하는 점이고, 내심은 세 변까지의 거리가 같은 점입니다. 내심은 삼각형의 모양과 관계없이 내부에 있지만, 외심은 삼각형의 각에 따라 위치가 달라집니다. 처음 답이 개념을 말로 구별하지 못한 것인지, 외심의 정의는 알고도 둔각이라는 조건을 풀이에 반영하지 못한 것인지는 실제 풀이 과정을 다시 살펴보며 확인할 수 있습니다.

수직이등분선을 따라 외심의 위치를 확인하기

교사는 학생에게 “외심을 찾을 때 어떤 선을 그어야 할까?”라고 묻고, 둔각삼각형의 두 변을 각각 수직이등분하도록 안내합니다. 수직이등분선은 해당 변의 중점을 지나고 그 변에 수직인 선입니다. 두 수직이등분선이 만나는 점이 외심이며, 이 점에서는 세 꼭짓점까지의 거리가 같아집니다. 이 정의를 이용하면 외심이 반드시 삼각형 내부에 있어야 한다는 조건은 없습니다.

둔각삼각형에서는 둔각의 맞은편 변을 기준으로 수직이등분선을 연장했을 때 교점이 삼각형 바깥에 놓입니다. 예를 들어 둔각의 꼭짓점을 A, 맞은편 변을 BC라고 하면, A에서 본 BC의 위치 관계 때문에 BC의 수직이등분선과 다른 변의 수직이등분선이 만나는 점은 삼각형 내부가 아니라 바깥쪽에 생깁니다. 교사가 이 위치 관계를 한 단계 보여 준 뒤, 학생은 나머지 선을 직접 연장하여 외심이 어느 쪽에 있는지 판단합니다.

학생은 처음의 “중심이라 내부에 있다”는 판단을 “외심은 세 꼭짓점까지의 거리가 같은 점이고, 둔각삼각형에서는 수직이등분선의 교점이 삼각형 밖에 놓인다”로 고칩니다. 이때 단순히 외부라는 말을 표시하는 데 그치지 않고, 둔각이라는 문제 조건이 수직이등분선의 교점 위치를 바꾸므로 정답은 외심이 삼각형 외부에 있다고 결론을 내리게 합니다.

풀이를 가리고 다시 확인하는 검산

수정 풀이와 정답을 가린 뒤 학생이 대표 문제의 조건만 보고 다시 시작하게 합니다. 먼저 외심인지 내심인지 구별하고, 외심이라면 세 꼭짓점까지의 거리가 같다는 정의를 떠올린 다음, 둔각삼각형의 수직이등분선을 연장했을 때 교점이 어디에 생기는지 말하게 합니다. 학생이 위치를 바로 설명하지 못하면 교사는 한 변의 수직이등분선만 함께 확인하고, 다른 수직이등분선과의 교점은 다시 시도하도록 도움의 양을 조절합니다.

검산은 같은 결론을 반복해서 쓰는 대신 각의 위치 관계로 확인할 수 있습니다. 둔각의 크기가 90°보다 크면 그 각이 마주 보는 현이 외접원에서 만드는 중심각의 작은 각은 둔각의 두 배가 될 수 없으므로, 실제로는 둔각이 외접원의 큰 호를 가로보게 됩니다. 이때 외접원의 중심은 둔각의 꼭짓점과 같은 쪽이 아니라 반대쪽에 놓여 삼각형 밖에 위치합니다. 이렇게 수직이등분선의 교점과 원에서의 위치 관계가 같은 결론을 가리키는지 확인합니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단을 살피기

새 적용 문제로 “한 내각이 120°인 삼각형의 외심은 내부에 있는가?”를 제시할 수 있습니다. 120°는 90°보다 큰 둔각이므로 이 삼각형은 둔각삼각형입니다. 따라서 앞의 결론을 조건에 맞게 적용하면 외심은 내부가 아니라 삼각형 바깥에 있습니다. 다만 내심은 세 변까지의 거리가 같은 점이며 삼각형 내부에 있으므로, 두 중심의 정의와 위치를 섞지 않는 것이 핵심입니다.

필요하다면 직각삼각형을 비교 자료로 제시합니다. 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점, 즉 변 위에 놓이므로 내부라고 할 수 없습니다. 예각삼각형에서는 외심이 내부, 직각삼각형에서는 변 위, 둔각삼각형에서는 외부에 놓인다는 위치 구분을 확인할 수 있습니다. 다음 수업에서는 학생이 대표 문제의 풀이와 정답을 보지 않고 외심의 정의와 각의 조건을 연결해 새 문제를 해결하는지, 그리고 왜 그 위치가 되는지 설명하는지를 기준으로 확인합니다.