금호지구 초등수학과외

12개 구슬에서 1/3을 고르는 문제

교육용 예시로, 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 책상에 구슬 12개를 놓고, 같은 개수의 세 무리로 나눈 뒤 그중 한 무리만 색칠합니다. 문제는 “전체 12개 중 1/3은 몇 개일까요?”입니다. 아이가 색칠된 구슬 4개를 세어 답하면서도 “전체는 선택한 구슬만 모은 수”라고 말한다면, 답의 숫자와 분수에서 말하는 전체의 의미가 서로 맞는지 살펴볼 필요가 있습니다. 여기서 선택 여부와 관계없이 처음 모인 구슬 12개가 기준이 되는 전체입니다. 칠하지 않은 구슬도 처음부터 함께 있었으므로 전체 테두리 안에 포함됩니다.

분모와 분자를 구슬 무리와 연결하기

교사는 구슬 12개를 같은 개수의 세 무리로 나누고, 각 무리에 구역을 표시합니다. 한 무리에 구슬이 4개씩 들어가는지 아이가 직접 세어 보게 하며, 분모 3은 같은 크기로 나눈 무리의 수라는 점을 짚습니다. 그다음 한 무리를 가리켜 “1/3에서 분자 1은 몇 무리를 고른다는 뜻일까?”라고 묻습니다. 아이가 말로 설명하기 어렵다면 한 무리를 옮겨 선택하고, 선택한 구슬을 펼쳐 실제 개수를 세어도 됩니다. 한 무리의 구슬 4개를 세어 전체 12개 중 1/3은 4개임을 확인합니다.

이때 선택한 구슬 4개만 다시 모아 그것을 전체라고 부르면 안 됩니다. 4개는 전체 12개를 세 무리로 나눈 뒤 고른 한 무리의 개수이고, 분수의 기준이 되는 전체는 처음 모은 12개입니다. 교사는 색칠된 구슬과 칠하지 않은 구슬을 번갈아 가리키며 “처음 놓인 구슬 중 빠진 것이 있을까?”라고 확인할 수 있습니다. 아이가 구슬 12개를 다시 세고, 세 무리 중 한 무리만 옮긴다면 선택분과 전체를 행동으로 구분하고 있는지 살필 수 있습니다.

설명 뒤 아이가 다시 해 보는 과정

아이가 선택한 구슬만 세어 4개라고 답했지만 전체를 4개로 생각했다면, 교사가 한 무리를 시범으로 나누어 보여 준 뒤 자료를 아이에게 넘깁니다. 문제와 구슬은 그대로 두고, 해설과 정답을 가린 상태에서 아이가 12개를 다시 세어 세 무리로 나누게 합니다. 이어 한 무리를 고르고, 고른 무리의 구슬을 펼쳐 몇 개인지 확인합니다. 아이가 긴 문장으로 이유를 말하지 못해도 전체 12개를 가리킨 뒤 고른 무리 4개를 옮기거나 그려 보이면, 처음 전체와 선택한 부분을 연결하고 있는지 확인할 수 있습니다. 교사는 “선택하지 않은 구슬은 처음부터 없었을까, 아니면 전체 안에 있었을까?”라고 물어 선택 여부와 전체의 기준을 구분하도록 돕습니다.

15개로 바꾸어 분수의 뜻 적용하기

이해를 새 자료에 적용하기 위해 구슬의 수를 15개로 바꾸어 봅니다. 구슬 15개를 같은 크기의 세 무리로 나누고 그중 한 무리만 색칠하면, 한 무리는 5개입니다. 따라서 전체 15개 중 1/3은 5개입니다. 기본 문제와 달라진 것은 전체 구슬의 수이고, 세 무리 중 한 무리를 고른다는 관계는 같습니다. 아이가 15개를 세 무리로 나누고 선택한 무리 5개를 직접 세는지 확인합니다.

추가로 12개를 세 무리로 나눈 뒤 두 무리를 고르는 상황도 비교할 수 있습니다. 한 무리가 4개이므로 두 무리는 4×2=8개이며, 12÷3×2=8개로 나타낼 수 있습니다. 여기서 분자 2는 고른 무리의 수이고, 분모 3은 같은 크기로 나눈 전체 무리의 수입니다. 다음 활동에서는 숫자만 기억해 4개나 5개를 말하는지보다, 바뀐 자료를 다시 나누고 선택한 무리를 옮겨 전체와 선택분의 관계를 보여 주는지 확인합니다.