금호지구 고등수학과외

평균값 정리와 증가·감소를 공부할 때는 정리의 이름을 말하는 것과 주어진 구간에 실제로 적용하는 것이 다르다. 배움노트 고등수학 수업에서는 “실수 전체에서 증가하려면 a≥0”이라는 기준을 그대로 옮겨 쓰지 않고, 문제에서 제한한 구간과 그 안의 도함수 부호를 먼저 확인하게 한다. 이번 문제는 실수 a에 대해 f(x)=x³+ax가 [1,2]에서 증가하도록 하는 a의 범위를 구하는 것이다. 함수는 다항함수이므로 닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분 가능하다는 평균값 정리의 조건도 충족한다.

실수 전체의 조건을 [1,2]에 그대로 옮긴 오답

이렇게 답했다면 풀이에는 “실수 전체에서 x³+ax가 증가하려면 a≥0”이라고 적혀 있을 수 있다. 그러나 문제는 모든 실수에서의 증가를 묻지 않고 [1,2]에서의 증가를 묻는다. 교사는 곧바로 오답이라고 단정하기보다 “이번에는 x=0이 구간에 있는가?”, “처음 쓴 식에서 도함수는 무엇인가?”라고 확인한다. 학생은 문제의 구간을 표시한 뒤 f′(x)=3x²+a를 직접 다시 쓰고, 실수 전체와 [1,2]에서 x가 움직이는 범위를 대조한다. 이 과정을 통해 정리의 가정을 확인하지 않은 것인지, 한 점의 도함수 값과 구간 전체의 부호를 혼동한 것인지 구분할 수 있다.

구간 안에서 도함수의 최솟값을 찾는 수정 풀이

증가 조건은 구간별로 도함수가 음수가 되지 않는지 살피는 데서 출발한다. [1,2]에서는 x²이 x=1에서 가장 작으므로 f′(x)=3x²+a의 최솟값은 3+a이다. 따라서 구간 전체에서 f′(x)≥0이 되려면 3+a≥0, 즉 a≥−3이어야 한다. 학생이 직접 이 부등식을 세우고, a<−3일 때 어떤 일이 생기는지도 확인하게 한다. 이 경우 f′(1)=3+a<0이므로 1의 오른쪽에 충분히 가까운 구간에서 도함수가 음수가 된다. 따라서 그 구간에서는 함수가 감소하여 조건을 만족할 수 없다.

결론은 a≥−3이다. a=−3이면 f′(1)=0이지만 x>1에서는 f′(x)=3x²−3>0이다. 끝점에서 기울기가 0이라는 사실만으로 조건을 배제할 필요는 없으며, [1,2] 안에서 함수가 실제로 증가하는지를 평균값 정리로 확인할 수 있다. 서로 다른 두 점 u<v를 잡으면 어떤 c∈(u,v)에 대해 f(v)−f(u)=f′(c)(v−u)이고, c>1이므로 f′(c)>0이다. 그러므로 f(v)>f(u)이다.

풀이를 가린 뒤 실수 전체 조건에 재적용하기

다음 점검에서는 문제와 조건, 함수식만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린다. 남겨 둘 자료는 “실수 a에 대해 f(x)=x³+ax가 실수 전체에서 증가하도록 하는 a의 범위를 구하라”는 문제와 도함수의 부호를 확인해야 한다는 조건이다. 학생은 앞 문제의 [1,2]를 실수 전체로 바꾸어 x=0이 이번에는 구간 안에 포함되는지, 3x²+a의 최솟값이 어디에서 정해지는지를 다시 표시한다. 이때 답을 외워 쓰는 것이 아니라, 실수 전체에서 최솟값이 a가 된다는 근거와 a<0일 때 0 근방에서 도함수가 음수가 되는 이유를 직접 적어야 한다. a=0인 경우에도 x³이 엄격히 증가하는지 대조하게 하며, 한 점의 기울기만으로 구간 전체를 판단했다면 0의 양옆 부호를 각각 조사하도록 다음 학습에서 확인한다.