매천동 초등수학과외

직사각형을 자르면 두 삼각형의 넓이는 어떻게 될까?

다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 가로 6cm, 세로 4cm인 직사각형 종이를 한 꼭짓점에서 마주 보는 꼭짓점까지 대각선으로 자르면 삼각형 두 조각이 생깁니다. 두 조각을 나란히 놓고 “대각선으로 자르면 한 삼각형이 항상 더 넓을까?”라고 물어봅니다. 아이가 대각선의 길이나 삼각형의 모양만 보고 한쪽이 더 넓다고 말할 수도 있지만, 이 조건에서는 두 조각의 모양과 크기가 서로 포개어집니다. 대각선은 직사각형을 두 부분으로 나누므로 각 삼각형은 직사각형 넓이의 절반입니다.

밑변과 수직인 높이를 찾아 식으로 연결하기

교사는 밑변과 수직 높이가 표시된 삼각형 종이와 직각 표지를 준비합니다. 먼저 직사각형의 넓이를 구할 수 있는지 확인한 뒤, 삼각형에서 밑변을 어느 쪽으로 정할지 살펴봅니다. 밑변을 6cm로 선택했다면 높이는 그 밑변 또는 밑변의 연장선에 직각으로 닿는 거리인 4cm입니다. 교사는 삼각형의 변을 따라 비스듬히 놓인 선이 아니라, 밑변과 직각을 이루는 선을 짚으며 직각 표지를 대어 보입니다. 아이가 말로 이유를 길게 설명하기 어렵다면 직각 표지를 옮겨 올바른 위치를 가리키거나, 높이 선을 직접 그려도 됩니다.

이제 아이는 직사각형 전체의 넓이 6×4=24cm²를 확인하고, 대각선으로 나뉜 한 삼각형의 넓이를 6×4÷2로 계산합니다. 따라서 한 삼각형의 넓이는 12cm²입니다. 두 조각을 실제로 포개어 보면서 같은 크기임을 확인하면, 단순히 “둘로 나누니까 2로 나눈다”가 아니라 같은 직사각형을 두 삼각형이 함께 이루고 있다는 관계를 볼 수 있습니다. 교사는 한 조각을 시범으로 포갠 뒤, 나머지 조각은 아이가 직접 옮겨 맞추게 합니다.

해설을 가리고 다시 놓아 보는 재시도

재시도할 때는 가로 6cm, 세로 4cm인 직사각형 문제와 삼각형 종이, 직각 표지를 그대로 둡니다. 다만 정답인 12cm²와 교사의 설명은 가리고, 자료는 처음 활동처럼 다시 배치합니다. 아이는 두 삼각형을 한 번씩 들어 포개어 보고, 선택한 밑변에 직각으로 닿는 높이를 찾아야 합니다. 그다음 6×4÷2를 계산하여 단위를 cm²로 적습니다. 교사는 “지금 찾은 4cm는 어느 선과 직각인가?”, “두 조각을 합치면 어떤 도형이 되는가?”라고 묻습니다. 아이가 답을 말하지 못해도 밑변을 가리키고 높이 선을 따라 그리거나, 두 조각을 맞춰 직사각형을 만드는 행동으로 근거를 보여 주면 됩니다.

새로운 크기에서도 같은 관계를 적용하기

이어서 가로 7cm, 세로 4cm인 직사각형을 대각선으로 자른 새로운 자료를 제시합니다. 기본 문제와 달라진 것은 가로 길이와 넓이이고, 직사각형을 대각선으로 나누면 두 삼각형이 같은 넓이를 이룬다는 관계는 그대로입니다. 아이는 밑변 7cm와 이에 수직인 높이 4cm를 다시 확인한 뒤 7×4÷2=14cm²를 계산합니다. 두 조각을 포개어 각각 14cm²임을 확인하면서, 숫자 6과 7을 외워 답하는 것이 아니라 밑변과 수직 높이를 자료에서 찾아 식으로 연결하는지 살펴볼 수 있습니다.

추가로 밑변 8cm, 높이 6cm인 삼각형에서는 8×6÷2=24cm²를 계산합니다. 두 길이를 각각 반으로 줄인 4×3=12는 넓이를 절반으로 한 것이 아니라 두 길이를 모두 반으로 하여 넓이를 네 분의 일로 만든 계산이므로 정답이 아닙니다. 다음 활동에서는 조건이 바뀐 부분을 먼저 표시하고, 아이가 답만 기억하는지 밑변에 수직인 높이를 찾고 모형이나 그림으로 넓이의 이유를 다시 보여 주는지 확인합니다.