매천동 고등수학과외

답을 가린 문제 자료만 앞에 두고 다시 시작한다. 문제는 f(x)=1/(x−1)+2, x>1의 치역을 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 먼저 결과를 고치기보다 “x>1에서 1/(x−1)의 부호는 무엇인가?”에 답해 보게 한다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 식을 보고 바로 치역을 적기보다 주어진 구간, 분모의 부호, 출력값의 범위를 차례로 표시하게 한다.

x>1 조건에서 출력의 범위 확인하기

학생이 별도 구간 제한을 보지 않고 y≠2라고 적었다면, 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않는다. 분모가 0이 되는 x=1을 정의역에서 제외하는 사실 자체를 모르는지, 식을 변형한 뒤 원래 조건을 잊은 것인지 확인 질문을 나눈다. 먼저 x−1>0이므로 1/(x−1)>0이라고 직접 표시하게 한다. 따라서 f(x)=1/(x−1)+2에서는 y−2>0이고, y>2가 출력의 필요조건이다. 분모의 제한은 식을 간단히 보이게 바꾸더라도 사라지지 않으며, 함수의 이동을 해석할 때도 분모를 묶은 원래 형태를 함께 확인해야 한다.

필요조건을 충분조건으로 이어서 수정하기

학생이 y>2를 얻었다면 후보를 고른 뒤 원래 조건과 대조한다. 임의의 y>2에 대해 y−2>0이므로 x=1+1/(y−2)로 둘 수 있다. 그러면 x>1이고, 이를 원식에 대입하면 1/(x−1)+2=y가 된다. 즉 y>2인 모든 값이 실제로 만들어진다. 양수라는 부호에서 얻은 필요조건과 역으로 x를 구성한 충분조건이 함께 성립하므로 치역은 (2,∞)이다. 단순히 특정 수를 대입해 확인하는 것만으로 구간 전체의 성질을 대신하지 않고, 역대응으로 모든 후보가 가능한지 확인한다.

정의역이 바뀌면 치역도 다시 대조하기

이번에는 식은 그대로 두고 정의역을 x≠1로 바꾼다. 앞의 풀이와 표현이 비슷해 보여도 조건이 달라졌으므로 같은 답을 옮겨 적지 않는다. y=f(x)라 하면 y−2=1/(x−1)이고, 오른쪽은 0이 될 수 없으므로 y≠2이다. 반대로 임의의 y≠2에 대해 x=1+1/(y−2)를 잡으면 x는 1이 아니며 원식에 대입해 해당 y를 만든다. 따라서 이때의 치역은 R−{2}이다.

재적용에서는 두 문제의 식과 정의역 조건만 남기고 풀이와 정답은 가린다. 학생은 첫 문제에서 x>1이 분모의 양수 조건을 만든다는 근거를 다시 적고, 두 번째 문제에서는 x≠1이 y≠2로 이어지는 이유를 분리해 쓴다. 약분이나 변형을 하더라도 원식의 금지값을 옆에 남겨 두고, 마지막에는 구한 역대응이 실제 정의역 조건을 만족하는지 대조한다. 다음 점검에서는 조건이 한쪽 구간인지, 특정 값만 제외한 것인지부터 표시하는지 살핀다.