월산동 고등수학과외

합성함수에서는 계산 결과의 모양보다 어느 함수를 먼저 적용했는지가 핵심이다. 다음과 같은 식에서 두 판단이 갈린다면, 답이 비슷해 보이는지보다 입력과 출력의 흐름을 먼저 확인해야 한다. 함수 f(x)=2x+1, g(x)=x²의 정의역이 모두 실수일 때 g(f(x))를 구하는 문제를 보자. 이렇게 답했다면 어떤 순서로 식을 읽었는지 설명할 수 있어야 한다.

g(f(x))에서 안쪽 입력을 먼저 확인하기

오답으로 2x²+1을 적었다면, 이를 보고 곧바로 원인을 단정하지 않는다. 먼저 “g의 입력 자리에 x 대신 무엇을 넣어야 하는가?”라고 묻고, 학생이 g(t)=t²에서 t를 직접 표시하게 한다. g(f(x))는 안쪽 함수 f를 먼저 계산한 뒤 그 출력값을 바깥 함수 g에 넣는다는 뜻이다. 따라서 g의 입력 자리에 들어갈 것은 x가 아니라 f(x)=2x+1이다.

여기서 2x²+1은 f(g(x))를 전개한 식이다. 즉, g를 먼저 적용하고 그 결과를 f에 넣었을 때의 값이므로 주어진 g(f(x))와는 다른 합성이다. 역함수와도 구별해야 한다. 역함수는 원래 함수의 입력과 출력 대응을 뒤집어 생각하는 개념이며, 합성 순서가 바뀌었다고 해서 자동으로 역함수가 되는 것은 아니다. 학생은 두 식의 괄호와 함수 이름을 직접 표시해 어느 함수가 안쪽인지 대조한다.

식의 한 단계를 학생의 계산으로 완성하기

안쪽 출력을 바깥 입력으로 넣는다는 설명 뒤에는 교사가 결론까지 대신 쓰지 않는다. 학생이 g(t)=t²의 t 자리에 f(x)=2x+1을 넣어 g(f(x))=(2x+1)²라고 적고, 이어서 전개하도록 한다. 그러면 (2x+1)²=4x²+4x+1이므로 정답은 4x²+4x+1이다. 제곱 전개에서 중간항 4x가 빠지지 않았는지도 확인한다.

부분 검산으로 x=1을 대입하면 실제 흐름은 1에서 f를 거쳐 3이 되고, 다시 g를 거쳐 9가 된다. 고친 식에 x=1을 넣은 값도 9이다. 반면 오답 2x²+1에 x=1을 넣으면 3이므로 실제 합성 결과와 맞지 않는다. 이 수치 확인은 식 전체가 항상 성립한다는 근거가 아니라, 순서를 잘못 읽은 판단을 반박하는 간단한 대조로 사용한다.

순서를 바꾼 문제에서 다시 직접 판단하기

풀이가 적힌 부분과 정답은 가리고, 문제와 조건만 남긴 채 f(x)=2x+1, g(x)=x², 정의역 R이라는 자료를 다시 제시한다. 이번에는 합성 순서를 바꾸어 f(g(2))를 구하게 한다. 학생은 먼저 g(2)=4까지만 계산해 다음 함수의 입력을 남기고, 이어 f(4)=2·4+1=9를 적는다. 따라서 정답은 9이다.

이번 결과는 f(g(x))=2x²+1에 x=2를 넣은 값인 9와도 대조할 수 있다. 앞 문제와 기호만 달라진 것이 아니라 적용 순서와 질문의 입력 조건이 달라졌다는 점을 말로 설명하게 한다. 이어 특정 입력 2가 2→4→9로 이동하는 두 단계를 표시하고, 합성된 식을 구하는 경우와 한 입력의 값을 구하는 경우를 구별하게 한다. 마지막에는 교사가 제시했던 첫 단계를 보지 않고, 합성 순서를 판단한 이유와 각 함수의 입력을 학생이 직접 작성하는지 확인한다.