인후동 초등수학과외

1/3과 3/9를 비교하며 생긴 질문

교육용 예시로, 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 한 줄로 된 같은 분수 띠에서 전체를 3등분하고 첫 번째 조각을 칠한 뒤, 칠한 경계를 유지한 채 각 조각을 다시 3등분합니다. 그러면 처음 칠한 부분은 모두 9칸 중 3칸이 되어 1/3=3/9로 나타낼 수 있습니다. 교사는 “분자 숫자가 1에서 3으로 커졌으니 3/9가 더 큰 양일까?”라고 묻습니다. 아이가 분자만 보고 3/9가 더 크다고 말할 수도 있지만, 이 답만으로 이유를 단정하지는 않습니다. 분수의 뜻을 충분히 이해하지 못했는지, 분자와 분모가 나타내는 대상을 연결하는 과정에서 막혔는지는 실제 조작을 보며 확인합니다.

교사는 먼저 띠 전체를 가리키며 분모가 전체를 몇 부분으로 나누었는지 확인하게 하고, 칠한 영역을 가리키며 분자가 그중 몇 부분인지 살펴보게 합니다. 아이가 말로 설명하기 어렵다면 1/3의 한 칸과 3/9의 세 칸을 손가락으로 짚어도 됩니다. 중요한 것은 숫자 1과 3만 비교하는 것이 아니라, 분모도 3에서 9로 같은 배수만큼 늘어 한 조각의 크기가 작아졌다는 점을 자료에서 확인하는 것입니다.

선을 더하고 칠한 끝을 포개 보기

교사는 칠해진 경계를 지우지 않은 분수 띠를 준비하고, 1/3의 모양에 선을 추가하여 9등분으로 만듭니다. 아이는 새 선을 따라 띠를 나누고, 전체 9칸 중 기존에 칠해져 있던 영역에 들어가는 칸을 하나씩 셉니다. 세 칸을 칠한 뒤 두 띠의 칠한 끝점을 포개 보면 끝나는 위치가 같습니다. 이때 아이가 직접 “1칸과 3칸”을 대응시키고, 분자와 분모가 함께 3배가 되었는지 확인하도록 합니다.

식으로는 1/3×3/3=3/9라고 연결할 수 있습니다. 여기서 3/3은 양을 새로 더한 것이 아니라, 한 조각을 같은 크기의 세 부분으로 다시 나눈다는 뜻입니다. 따라서 분자가 커졌지만 각 조각은 더 작아졌고, 칠한 영역의 실제 넓이나 길이는 달라지지 않습니다. 교사가 한 번 선을 긋는 모습을 보여 준 뒤에는 아이가 이어지는 부분의 선을 직접 긋고, 칠한 영역을 가리키며 답을 다시 확인하게 합니다.

해설을 가린 뒤 처음부터 다시 놓아 보기

재시도에서는 문제와 분수 띠 자료는 그대로 두고 해설과 정답만 가립니다. 이미 3/9가 완성된 모형을 보여 주는 것이 아니라, 아이가 1/3 띠를 다시 놓고 같은 칠한 경계를 유지하면서 9등분을 하도록 합니다. 아이가 선을 추가한 뒤 세 칸을 칠하거나 기존 칠한 부분을 따라가면, 말이 길지 않아도 두 표현이 같은 양을 나타낸다는 근거를 확인할 수 있습니다.

만약 아이가 다시 분자 3만 보고 더 큰 양이라고 판단한다면 교사는 “분모가 3에서 9로 바뀔 때 한 조각은 어떻게 되었을까?”라고 묻고, 1/3의 한 조각과 3/9의 세 조각을 포개 보이게 합니다. 아이는 한 조각이 세 개로 나뉘었지만 그 세 조각의 합이 원래 한 조각과 같다는 것을 손으로 묶거나 선으로 표시할 수 있습니다. 교사는 답을 무조건 미루지 않고 필요한 관계를 짚어 준 뒤, 이어지는 나누기와 비교는 아이가 직접 하도록 합니다.

재등분과 전체 확대를 구분하는 새 문제

새 자료에서는 12cm 띠와 24cm 띠를 사용합니다. 12cm 띠의 1/3을 2/6으로 다시 나타내면 칠한 실제 길이는 4cm입니다. 여기서는 같은 띠를 더 잘게 나누었을 뿐 전체 길이와 칠한 경계가 유지됩니다. 반면 24cm 띠에서 1/3을 새로 고르면 칠한 길이는 8cm입니다. 분수 표현은 같아 보여도 전체 띠의 길이가 달라졌으므로 실제 길이는 달라집니다.

아이는 두 띠의 전체 길이를 자로 확인하고, 각각 3등분한 뒤 칠한 부분의 길이를 계산합니다. 12÷3=4, 24÷3=8이므로 재등분으로 1/3을 2/6으로 읽는 경우와 전체를 두 배로 확대한 경우를 구분할 수 있습니다. 다음에는 답을 기억하는지보다, 분수 띠에서 전체의 크기와 칠한 경계를 가리키며 왜 같은지 또는 왜 실제 길이가 달라지는지 보여 주는지를 확인합니다.