진북동 초등수학과외

두 직사각형을 붙였을 때 생기는 질문

교육용 예시로, 변의 길이가 가로 5cm, 세로 3cm로 표시된 직사각형 종이 두 장을 준비해 보겠습니다. 두 종이를 평행하게 조금 어긋나 놓아 세로 방향의 선분 2cm가 맞닿도록 붙이는 상황입니다. 질문은 “모서리의 일부만 맞붙으면 어느 길이를 둘레에서 제외할까?”입니다. 다음 활동에서 아이가 두 직사각형의 둘레를 각각 구한 뒤, 맞닿은 부분이 있으므로 한쪽 세로 변 전체를 빼야 한다고 생각했다고 가정해 보겠습니다.

이때 그 설명이 곧바로 맞는다고 보기는 어렵습니다. 두 종이가 맞닿은 것은 세로 변 전체가 아니라 2cm 길이의 일부이기 때문입니다. 먼저 각 직사각형의 둘레가 2×(5+3)=16cm인지 확인하고, 두 장의 둘레 합이 32cm임을 살핍니다. 그다음 실제로 종이 안쪽에 들어간 선분이 어디인지 표시해야 합니다. 선분의 일부만 맞붙었다면 그 일부만 외곽에서 사라집니다.

종이의 접촉 구간을 외곽선과 연결하기

교사는 종이의 가장자리를 손가락으로 천천히 따라가며 “이 선은 바깥에서 보이나요, 두 종이 사이에 들어갔나요?”라고 묻습니다. 맞닿은 2cm 선분에는 다른 색으로 표시하고, 점 하나만 닿은 모서리와 길이를 가진 선분이 닿은 경우도 구분해 봅니다. 점으로만 만난 곳은 제외할 길이가 없지만, 선분으로 맞붙어 내부가 된 곳은 외곽선에서 빠집니다.

아이가 말로 이유를 설명하기 어렵다면 교사가 맞닿은 부분의 한쪽 끝을 짚고 종이의 바깥쪽을 따라가 보인 뒤, 이어지는 부분은 아이가 직접 손가락이나 연필로 따라가게 할 수 있습니다. 아이는 두 종이의 접촉 구간 2cm를 각각의 둘레에서 찾아 표시합니다. 같은 내부 접합선이 두 직사각형의 둘레에 한 번씩 포함되어 있었으므로, 전체 둘레에서는 2cm+2cm=4cm가 빠집니다. 따라서 식은 32cm-4cm=28cm이고, 붙인 도형의 둘레는 28cm입니다. 종이를 옮겨 놓은 것과 종이의 개수가 줄어든 것은 다르며, 이 활동에서는 두 장이 그대로이고 일부 선분만 외곽에서 제외됩니다.

해설을 가린 뒤 다시 확인하기

재시도할 때는 두 직사각형 종이와 변의 길이, 붙이는 조건은 그대로 둡니다. 다만 28cm라는 정답과 “맞닿은 2cm를 두 번 뺀다”는 해설은 가립니다. 교사는 종이를 처음 상태처럼 다시 놓게 하고, 아이가 맞닿은 구간을 표시한 뒤 외곽을 한 바퀴 따라가게 합니다. 아이가 먼저 각 종이의 둘레를 16cm로 계산하고, 표시한 접촉 구간을 2cm씩 빼서 28cm를 구하면 활동과 식이 연결된 것입니다. 긴 설명을 하지 않아도 실제 접촉 부분을 가리키거나 옮기고, 식에 32-2-2를 적는 행동으로 근거를 보여 줄 수 있습니다.

붙이는 조건이 달라진 새 문제

이어서 같은 5cm×3cm 직사각형 두 장을 겹치지 않게 3cm인 세로 변 전체로 붙여 보겠습니다. 이번에는 한 장의 3cm 선분 전체가 다른 장과 맞닿아 내부 접합선이 됩니다. 넓이는 두 종이의 넓이를 합한 것이므로 5×3+5×3=30cm²입니다. 둘레는 가로 길이가 5cm에서 10cm로 이어지고 세로 길이는 3cm로 유지되어 2×(10+3)=26cm입니다. 기본 문제와 달라진 점은 접촉한 선분의 길이가 2cm에서 3cm 전체로 바뀐 것입니다. 다음에는 아이가 답만 기억하는지보다, 새 자료에서 내부 접합선을 직접 표시하고 넓이와 둘레의 변화를 각각 설명할 수 있는지 확인합니다.