인후동 중등수학과외

“3√2”라는 답안에서 시작한 확인

학생은 3/√2를 분모가 유리수인 식으로 나타내라는 문제를 보고 “3/√2=3√2.”라고 적었다. 근호를 없애야 한다는 방향은 떠올렸지만, 분모를 곱으로 올리는 과정에서 식 전체의 변화를 끝까지 반영하지 않은 답이었다. 인후동중등수학과외 수업에서는 곧바로 개념을 단정하지 않고, 학생이 어느 지점에서 판단을 바꾸었는지 확인하는 질문부터 던졌다. 교사는 “3√2에 √2를 곱하면 원래 분자 3이 되나요?”라고 물었다.

학생이 3√2×√2=6이라고 계산하면서도 왜 원래 분자와 달라지는지 설명하지 못한다면, 유리화의 기준 자체를 다시 확인해야 한다. 반대로 분자와 분모에 같은 수를 곱해야 한다는 기준은 말하지만 답만 3√2라고 적었다면, 계산 과정을 한 줄씩 살펴볼 수 있다. 한 번의 오답만으로 원인을 확정하지 않고, 질문에 대한 대답과 실제로 다시 적는 식을 함께 확인하는 이유가 여기에 있다.

분자와 분모에 같은 수를 곱하기

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고, 먼저 비교할 한 단계만 제시했다. 분모의 √2를 없애려면 분자와 분모에 √2를 각각 곱해야 한다.

3/√2 × √2/√2 = 3√2/(√2×√2) = 3√2/2

여기서 설명의 핵심은 “유리화해도 분모 2는 남는다”는 한 관계다. √2×√2가 2가 되므로 분모의 근호는 사라지지만, 그 결과 생긴 유리수 2까지 지워지는 것은 아니다. 교사는 이 한 줄을 시범으로 보인 뒤 계산을 멈추고, 학생에게 분자와 분모의 곱을 직접 읽어 보게 했다. 학생은 처음 답안의 3√2를 지우고, 분자·분모에 √2를 곱한 식을 다시 적었다.

학생이 고쳐 쓴 과정은 3/√2 = (3×√2)/(√2×√2) = 3√2/2이고, 최종 답은 3√2/2이다. 처음 풀이와 달라진 부분은 분자에 √2를 붙인 것만이 아니다. 분모에서도 √2×√2를 계산해 생긴 2를 남겼다는 점이 핵심이다. 교사는 학생에게 “마지막 분모에는 무엇이 남았나요?”라고 다시 묻고, 학생이 “2가 남습니다”라고 식을 가리키며 말하게 했다.

곱셈으로 확인하는 정답

검산은 같은 유리화 계산을 다시 반복하지 않고, 수정한 식에 원래 분모의 √2를 곱하는 방식으로 진행했다. (3√2/2)×√2 = 3×2/2 = 3이므로 처음 분자의 3과 일치한다. 학생은 수정된 식이 원래 분수와 같은 값을 가지는지 역으로 확인하면서, 분모의 2를 빠뜨리면 이 일치가 깨진다는 점을 비교했다. 따라서 이 문제의 결론은 분자와 분모에 √2를 곱해 3√2/2로 나타내는 것이다.

분모 앞에 2가 붙은 새 조건

이제 분모의 근호 앞에 계수 2가 추가된 3/(2√2)를 제시했다. 원리는 그대로 분자와 분모에 √2를 곱하는 것이지만, 유리화 뒤에는 기존 분모의 계수 2와 √2×√2에서 생긴 2가 모두 남는다는 점이 달라진다.

학생은 3/(2√2) × √2/√2 = 3√2/(2×2) = 3√2/4라고 계산해야 한다. 이어서 (3√2/4)×2√2 = 3으로 확인하면 원래 분자의 값과 일치한다. 다음 수업에서 대표 문제를 다시 제시할 때는 문제와 조건만 남기고 오답, 수정 풀이, 정답은 가린다. 도움 없이 학생이 먼저 분자와 분모에 같은 수를 표시한 뒤, 분모의 기존 계수 2와 새로 생긴 2를 모두 적는지 확인한다. 필요하면 “유리화해도 분모 2는 남는다”는 관계만 되짚고, 다음 줄은 학생이 결정하게 한다.