인후동 고등수학과외

“평행하지 않고 만나지도 않아 꼬인 위치”에서 시작하기

공간의 두 직선 ℓ={(t,0,0): t∈R}, m={(0,s,1): s∈R}의 위치 관계를 묻는 문제에서 이렇게 답했다면 어떨까. “교점이 없으니 평행이다.” 최종 판단은 평행이 아니라, 평행하지도 않고 만나지도 않는 꼬인 위치이다. 배움노트 고등수학 수업에서는 정답만 바꾸게 하지 않고, 그 판단에 이르기 전 어떤 조건을 빠뜨렸는지 직접 표시하게 한다.

먼저 교점이 없는지 확인하려면 (t,0,0)=(0,s,1)을 놓는다. 첫째 좌표에서 t=0, 둘째 좌표에서 s=0이 되지만 셋째 좌표는 0=1이 되어 성립하지 않는다. 따라서 두 직선은 만나지 않는다. 그러나 교점 부재만으로 평행이라고 할 수는 없다. 평행 여부는 두 방향이 같은지 비교해야 한다.

방향과 좌표 조건을 따로 확인하기

ℓ의 방향벡터는 (1,0,0), m의 방향벡터는 (0,1,0)이다. 두 벡터는 서로 배수가 아니므로 방향이 같지 않다. ℓ은 z=0인 평면 안의 x축 방향으로 움직이고, m은 z=1에서 y축 방향으로 움직인다. 각각의 모양이 평면에서 본 두 직선처럼 보여도 공간에서는 서로 다른 높이에 놓일 수 있으므로, 평면 직선의 분류를 그대로 옮기면 안 된다.

이때 “두 직선의 방향이 같은가?”, “z좌표 조건은 함께 만족 가능한가?”라고 다시 묻는다. 방향이 같은지 먼저 적고, 좌표를 같게 놓았을 때 생기는 등식 중 모순되는 부분을 학생이 직접 표시하게 한다. 정사영을 추측하는 모습이 보인다면 꼭짓점 좌표나 대상 평면에 내린 수선의 발부터 구하게 한다. 정사영은 대상 평면에 수직인 방향으로 내린 발들의 모임이며, 길이와 넓이의 배율을 혼동하지 않도록 무엇을 투영했는지도 함께 적는다.

따라서 이 문제의 수정 풀이는 “방향벡터 (1,0,0)과 (0,1,0)은 배수가 아니므로 평행하지 않다. 두 직선을 같게 놓으면 z좌표가 0=1이 되어 교점이 없다. 그러므로 두 직선은 꼬인 위치이다.”가 된다. 방향 비교와 교점 확인을 별도로 했으므로 정답을 검산할 근거도 분명하다.

직선과 평면으로 조건을 넓혀 다시 대조하기

같은 기준을 직선과 평면의 관계에 적용해 보자. 평면 α:z=0, 직선 ℓ={(t,0,t): t∈R}, m={(0,s,0): s∈R}일 때 “ℓ이 m에 수직이므로 α에도 수직이다”라는 주장을 판단한다. ℓ의 방향은 (1,0,1), m의 방향은 (0,1,0)이므로 두 방향벡터의 내적은 0이다. 하지만 α 안에는 m과 함께 x축 방향의 직선도 있고, ℓ의 방향 (1,0,1)은 x축 방향 (1,0,0)과 내적이 1이라 수직이 아니다. 한 직선과 수직이라는 사실만으로 평면 전체에 수직이라고 할 수 없으므로 주장은 거짓이다.

재적용할 때는 문제와 조건만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린다. 먼저 교점 가능 여부와 방향벡터를 각각 표시한 뒤, 기본 문제와 표현만 달라진 것인지 실제 조건이 달라진 것인지 한 문장으로 쓴다. 이번에는 ‘두 직선의 방향 비교’에서 ‘평면 안의 서로 만나는 두 직선에 모두 수직인지’로 조건이 넓어졌다. 마지막으로 정답을 보지 않은 상태에서 꼬인 위치와 평면에 수직이 아님을 다시 판정하고, 빠뜨린 등식이나 부등식이 없는지 대조한다.