금호동 고등수학과외

허용하는 계수를 실수에서 복소수로 바꾸면 결론이 달라질 수 있다. 문제는 i²=−1인 복소수 범위에서 x²+9를 일차식의 곱으로 인수분해하라는 것이다. 이때 9=−(3i)²이므로 x²+9=x²−(3i)²=(x−3i)(x+3i)로 정리된다. 전개하면 (x−3i)(x+3i)=x²−(3i)²=x²−9i²=x²+9이므로 식과 부호가 모두 맞는다. 다만 이 결론을 실수계수 인수분해의 결과로 오해하지 않으려면, 먼저 계수의 범위가 바뀌었다는 조건을 표시해야 한다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 이렇게 표현이 같은지뿐 아니라 어떤 수 체계에서 성립하는지도 함께 확인한다.

실수 범위에서 두 식의 구조 비교하기

기본 문제는 실수계수로 x²−9와 x²+9를 각각 일차식의 곱으로 인수분해할 수 있는지 판단하는 것이다. x²−9에는 제곱의 차 공식이 적용되어 x²−9=(x−3)(x+3)이다. 반면 x²+9는 모든 실수 x에서 x²≥0이므로 x²+9>0이다. 따라서 실근이 없고, 실수 일차식 두 개의 곱으로 나타낼 수 없다. 실수 일차식은 반드시 어떤 실수에서 0이 되므로, 두 일차식의 곱이라면 적어도 하나의 실근이 생겨야 하기 때문이다.

오답의 부호를 직접 전개해 원인 나누기

이렇게 답했다면 “둘 다 (x−3)(x+3)이다”라는 말부터 바로 고치기보다 “(x−3)(x+3)의 상수항은 +9인가, −9인가?”라고 묻는다. 학생이 (x−3)(x+3)=x²−9를 직접 전개하고, 원래 식 x²+9와 상수항의 부호를 표시해 대조하게 한다. 이 과정에서 제곱의 차 구조 자체를 모르는지, 구조는 알고도 상수항과 부호를 잘못 정했는지 구분할 수 있다. 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, 공통인수와 곱셈공식의 의미를 설명할 수 있는지도 확인한다. 교사는 전개한 식의 모든 계수와 부호가 원래 식과 같아야 한다는 기준만 제시하고, 다음 줄은 학생이 직접 잇게 한다.

조건을 남긴 채 풀이를 다시 세우기

학생은 x²−9=(x−3)(x+3)이라고 적고, x²+9는 실근이 없어 실수 일차식의 곱이 되지 않는다고 수정한다. 이어 대표 식과 조건만 남기고 정답과 검산 문장을 가린 상태에서, 계산 결과와 성립 범위를 각각 적는다. 같은 식을 다시 보는 것과 계수의 범위를 실수에서 복소수로 바꾸는 것은 다른 변화다. 복소수 조건에서는 x²+9=x²−(3i)²=(x−3i)(x+3i)이고, 전개 검산도 x²+9로 돌아온다. 이후에는 한 인수의 각 항을 다른 인수에 곱해 원래 다항식의 계수를 복원하게 하며, 실수에서는 불가능하고 복소수에서는 가능하다는 결론을 조건과 함께 다시 확인한다.