치평동 고등수학과외

행과 열을 바꾸어 읽었을 때 생기는 오답

행렬의 뜻과 연산을 다룰 때는 숫자를 계산하기 전에 각 위치가 무엇을 나타내는지 확인해야 한다. 예를 들어 행 순서가 가게 A, B이고 열 순서가 연필, 공책의 판매 개수라면 S=[[2,3],[4,1]]에서 첫째 행 [2,3]은 가게 A의 판매 수량을 뜻한다. 연필 가격과 공책 가격을 p=[[500],[1000]]원으로 둘 때 구하는 것은 각 가게의 매출이다. 그런데 이렇게 답했다면 어떨까. “Sp=[[3500],[4500]]원이다.” 열별 합에 가격을 섞어 곱한 결과처럼 보이지만, 한 계산만으로 원인을 확정할 수는 없다.

먼저 “가게 A 매출에는 어느 두 개수와 가격이 대응하는가?”라고 묻고, 학생이 S의 첫째 행과 p의 두 성분을 직접 표시하게 한다. 연필 2개에는 500원, 공책 3개에는 1000원이 대응한다는 표시가 빠졌는지, 아니면 행렬 곱을 같은 위치끼리 곱하는 성분별 계산으로 이해했는지를 나누어 확인한다. 이때 학생이 자신의 식에서 처음 판단한 부분에 밑줄을 긋게 하면 단순 계산 실수와 위치 해석의 혼동을 구별하기 쉽다.

행·열 대응을 표시하고 한 성분부터 다시 계산하기

행렬 곱에서는 왼쪽 행렬의 한 행과 오른쪽 열벡터가 만나 하나의 성분을 만든다. 따라서 첫째 성분은 S의 첫째 행과 p의 열을 대응시켜 2·500+3·1000으로 계산한다. 교사가 결과를 대신 읽어 주기보다 학생이 “첫째 행의 첫 수×가격 열의 첫 수 + 첫째 행의 둘째 수×가격 열의 둘째 수”라는 등식을 직접 작성하게 한다. 그러면 A의 매출은 4000원이 된다. 둘째 행을 같은 방식으로 계산하면 B의 매출은 4·500+1·1000=3000원이다.

따라서 Sp=[[4000],[3000]]원이다. 계산 결과는 각 가게의 연필 판매 금액과 공책 판매 금액을 따로 구해 더하는 방법으로도 확인할 수 있다. A는 1000+3000=4000원, B는 2000+1000=3000원이므로 두 방식이 일치한다. 숫자를 단순히 맞추는 데서 끝내지 않고, 첫째 성분이 왜 A의 매출인지 행과 열의 의미까지 말하게 해야 다음 문제에서 표현이 달라져도 대응 관계를 유지할 수 있다.

표현이 달라진 행렬에서 대응 성분을 찾는 순서

같은 기준을 유지한 채 자료의 의미가 아니라 성분의 등식을 판단하는 문제도 비교해 본다. [[a,2],[3,b]]+[[1,c],[0,4]]=[[5,7],[3,10]]에서 각 내부 목록은 한 행이므로, 먼저 네 위치를 맞춰 표시한다. 첫째 행 첫째 열에서는 a+1=5, 첫째 행 둘째 열에서는 2+c=7, 둘째 행 둘째 열에서는 b+4=10이므로 a=4, c=5, b=6이다. 둘째 행 첫째 열은 3+0=3으로 조건과 맞는지 확인한다. 네 위치에 값을 다시 대입해 오른쪽 행렬과 모두 일치하는지도 대조한다.

다음에는 기본 문제의 풀이와 정답을 가린 채 S와 p, 행·열의 순서, 가격 단위를 남겨 독립적으로 시작한다. 먼저 각 성분의 위치와 의미를 표시하고, 곱의 위치가 흔들리면 전체를 계산하지 말고 한 성분의 행과 열만 선택해 식을 쓴다. 이어 행렬 자료를 계산하는 문제와 대응 성분에서 미지수를 찾는 문제를 나란히 두고, “자료의 의미는 달라졌지만 대응 위치를 맞추는 기준은 같다”라고 한 문장으로 정리하게 한다. 이후에는 조건이 바뀐 문제에서 무엇이 달라졌는지, 어떤 위치를 먼저 확인했는지를 적게 하며 다음 학습으로 연결한다.