유촌동 고등수학과외

“모든 실수 x에서 (a−1)x²+bx+2=3x+2이다. 실수 a,b를 구하라.” 이 문제에서 먼저 확인할 것은 상수항이 아니라 ‘모든 실수 x에서’라는 조건이다. 그런데 이렇게 답했다면 어떨까. “양변의 상수항이 2로 같으므로 a,b는 아무 실수이다.” 한 항의 일치만으로 두 다항식 전체가 같다고 판단한 셈이다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 오답을 바로 능력의 문제로 단정하지 않고, 조건을 어디에서 놓쳤는지 질문으로 좁혀 간다.

상수항 일치만으로 충분한지 확인하기

먼저 학생에게 우변에 x²항이 있는지 묻고, 있다면 그 계수를 직접 표시하게 한다. 우변 3x+2에는 x²항이 없으므로 0x²으로 쓸 수 있다. 이어 “한 입력값에서 두 식의 값이 같다는 뜻일까, 허용되는 모든 x에서 같은 식이라는 뜻일까?”를 구분해 말하게 한다. 예를 들어 특정 x 하나를 넣어 값이 우연히 같아지는 것과, 모든 x에서 같은 다항식이 되는 것은 다르다. 항등식이라면 각 차수의 계수가 같아야 한다는 기준을 식 옆에 적는다.

없는 고차항을 0으로 놓고 직접 계수 비교하기

교사는 전체 풀이를 대신 쓰지 않고, “x²항의 계수는 무엇과 같아야 하지?”라고 묻는다. 학생이 우변의 x² 계수를 0으로 표시하면 (a−1)=0을 세울 수 있다. 그 다음 단계와 결론은 학생이 직접 완성하도록 기다린다. x²항에서 a=1을 얻고, x항의 계수를 비교해 b=3을 얻는다. 따라서 정답은 a=1, b=3이다. 검산할 때는 좌변에 값을 대입해 (1−1)x²+3x+2=3x+2가 되는지 확인한다. 이때 이차항이 실제로 사라져 우변과 같은 일차식이 되는지까지 표시해야 한다.

조건을 남긴 채 풀이를 가리고 다시 판단하기

이제 문제의 조건과 필요한 식만 남기고, 방금의 풀이·정답·유도 표시는 가린다. ‘모든 실수에서 성립’이라는 조건은 그대로 두되, 계수를 맞추는 방법을 학생이 처음부터 다시 적게 한다. 다음에는 모든 실수 x에서 ax+b=2x+3인 문제를 제시한다. 먼저 x=0을 대입해 b=3임을 확인하고, x=1에서 a+3=5이므로 a=2를 구한다. 이는 표현이 달라진 문제이지 조건이 사라진 것이 아니다. 대입한 좌변이 2x+3 자체가 되므로 모든 실수에서 성립한다.

다만 한 점의 대입만으로 항등식을 증명할 수는 없다. 두 식의 차를 양변에서 빼어 0인 다항식으로 만들고, 각 차수의 계수가 모두 0인지 확인해야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 다음 풀이에서 첫 단계를 가리지 않고 따라 쓰는지보다, 고차항을 없애야 하는 이유와 계수 비교의 근거를 학생 자신의 말과 표시로 재현하는지를 본다. 이후 조건이 바뀌거나 항의 차수가 달라져도 같은 기준을 적용하는지 다시 확인한다.