광천동 고등수학과외

12를 바로 나누기 전에 원래 확률을 확인하기

정규분포와 표준화 문제에서 X~N(10,4)이고 P(0≤Z≤1)=0.3413일 때 P(X≥12)를 구한다고 하자. 여기서 N(10,4)의 두 번째 값은 분산이므로 표준편차는 √4=2이다. 12를 기준으로 오른쪽 확률을 구하려면 먼저 X의 값을 표준정규변수 Z의 값으로 바꾸어야 한다. 이때 “Z=12/2=6”이라고 답했다면 계산 속도보다 빠진 조건을 살펴봐야 한다. 평균 10을 기준으로 얼마나 떨어졌는지 나타내야 하며, 단위를 표준편차로 바꾸는 과정도 필요하다.

이 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, “표준편차와 분산을 구별했는가?”, “표준화할 때 단위만 나누는가, 평균도 먼저 빼는가?”, “X의 오른쪽 영역이 Z에서 어느 구간이 되는가?”를 차례로 묻는다. 학생은 문제의 분포 조건에서 분산과 표준편차를 직접 표시하고, X=12가 평균에서 오른쪽에 있는지 확인한 뒤, 원래 수직선과 표준정규수직선에 같은 경계를 옮겨 적는다.

평균을 뺀 뒤 표준편차로 나누어 오른쪽 꼬리 구하기

X~N(μ,σ²)에서 표준화는 Z=(X−μ)/σ로 한다. 따라서 이 문제에서는 Z=(X−10)/2이고, X=12일 때 Z=(12−10)/2=1이다. 교사는 이 식과 경계값까지만 제시하고, 그다음 확률 영역과 계산은 학생이 완성하게 한다. 학생이 직접 고친 풀이는 P(X≥12)=P(Z≥1)이다. 주어진 값은 평균 0부터 1까지의 면적 P(0≤Z≤1)=0.3413이므로, 대칭성에 따라 오른쪽 반쪽 전체 면적 0.5에서 이를 빼면 P(Z≥1)=0.5−0.3413=0.1587이다.

따라서 정답은 0.1587이다. 검산할 때는 12가 평균 10보다 크므로 오른쪽 꼬리 확률이어야 하고, 0.1587은 0과 1 사이의 면적보다 작으며 0과 1 사이에 있어 확률의 범위에도 맞는지 확인한다. 단순히 표에서 숫자를 찾는 것이 아니라, X의 구간을 Z의 구간으로 바꾼 뒤 어느 확률 영역인지 먼저 표시해야 한다.

표현이 바뀌어도 같은 표준화 조건을 적용하기

같은 조건에서 P(10≤X≤12)를 구하는 문제로 바꾸어 보자. 풀이와 정답은 가린 채 문제와 필요한 조건만 남긴다. 학생은 σ=√4=2를 확인하고 Z=(X−10)/2를 적용한다. X=10은 Z=0, X=12는 Z=1이므로 원래 구간 [10,12]는 표준정규 구간 [0,1]로 바뀐다. 따라서 P(10≤X≤12)=P(0≤Z≤1)=0.3413이다. 이번에는 오른쪽 꼬리 전체가 아니라 평균부터 표준편차 하나까지의 구간이라는 점이 다르다.

마지막으로 수정 전후의 식을 섞어 놓고 평균을 먼저 빼는 단계, 표준편차로 나누는 단계, Z의 확률 영역을 표시하는 단계를 순서대로 복원하게 한다. 이어 다른 경계값이 주어진 문제에서도 원 구간과 Z 구간을 직접 대조하게 하며, 같은 표현을 반복한 것인지 실제 조건이 달라진 것인지 구별한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답의 모양만 확인하지 않고, 빠진 평균과 분산·표준편차의 구분이 다음 풀이에서도 유지되는지 점검한다.