화정동 고등수학과외

확률과 통계의 이항분포 문제에서는 정답 숫자보다 그 숫자가 어떤 경우를 세어 얻어졌는지가 중요하다. 성공확률이 1/2인 독립시행을 4번 할 때 성공이 정확히 2번일 확률을 구하는 문제에서, 다음과 같이 답했다면 식에 빠진 조건을 먼저 살펴볼 필요가 있다.

성공 두 번을 한 자리에 고정했는지 확인하기

예시 오답은 (1/2)²(1/2)²=1/16이다. 이 값은 특정한 순서, 예를 들어 성공-성공-실패-실패 한 가지가 나올 확률로는 맞다. 그러나 문제는 성공이 정확히 두 번인 모든 결과를 묻는다. 성공확률, 시행 횟수, 독립 조건을 제대로 읽었는지와 함께 “성공 두 번이 올 자리를 한 가지로 고정했는가?”라고 확인한다.

학생이 직접 네 칸을 그리고 성공 두 칸의 위치를 표시하게 한다. 성공-성공-실패-실패뿐 아니라 성공-실패-성공-실패, 실패-성공-실패-성공처럼 성공 위치가 달라지는 경우도 조건을 만족한다. 이때 기대 횟수와 특정 횟수의 확률을 혼동한 것은 아닌지, 한 배열의 확률만 계산한 것은 아닌지도 구분해 본다. 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, 학생이 가능한 배열을 실제로 표시하는 과정을 관찰한다.

배치 수를 포함해 식을 완성하기

교사는 이항분포가 같은 성공확률을 가진 독립시행을 정해진 횟수만큼 반복해 성공 횟수를 세는 상황이라고 설명한다. 성공 두 번이 들어갈 자리는 네 자리 중 두 자리를 고르는 경우이므로 4C2=6가지이다. 여기서 먼저 한 배열의 확률이 (1/2)⁴임을 비교해 보여 주고, 남은 곱셈과 정리는 학생이 직접 적도록 한다.

학생은 성공 위치를 4C2=6가지로 센 뒤, 각 배열의 확률이 같다는 점을 이용해 6·(1/2)⁴=6/16=3/8이라고 수정한다. 시행마다 성공확률이 1/2이고 서로 독립이라는 조건이 유지되므로 각 순서의 확률을 곱할 수 있다. 단순히 이항식에 숫자를 넣는 데서 끝내지 않고, 계수 6이 왜 필요한지 옆에 “성공 자리 선택”이라고 표시하게 하면 식과 상황의 대응이 분명해진다.

결과를 대조하고 조건을 남긴 채 다시 적용하기

정답은 3/8이다. 부분 검산으로는 네 번의 등확률 결과가 모두 1/16이고, 그중 성공이 두 번인 결과가 6개이므로 6/16=3/8임을 확인할 수 있다. 이는 특정 한 결과의 확률과 여러 결과를 합친 확률을 구별하는 근거가 된다.

다음에는 성공확률이 1/2인 독립시행을 4번 할 때 성공이 한 번도 없을 확률을 구한다. 성공 위치를 여러 가지 고르는 문제가 아니라 네 번 모두 실패하는 한 가지 결과이므로 (1/2)⁴=1/16이다. 이항식으로는 4C0·(1/2)⁰·(1/2)⁴로 같은 값이 나온다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 대표 문제의 식과 범위, 필요한 자료만 남기고 풀이와 정답은 가린 뒤 다시 시작한다. 학생이 먼저 성공 위치를 한 가지로 고정했는지 확인하고, 시행 횟수·성공확률·독립성에 맞는 근거를 골라 수정 풀이를 쓰는지 본다. 표현만 바뀐 문제인지 조건 자체가 바뀐 문제인지도 대조하며, 이항식만 대입하기 전에 원래 상황에서 시행마다 확률과 독립성이 유지되는지 점검한다.