동남구 고등수학과외

공통수학1에서 행렬의 뜻과 연산을 다룰 때는 숫자를 빠르게 대입하는 것보다 각 성분이 어떤 행과 열에서 만들어지는지 표시하는 일이 먼저다. 이렇게 답했다면, 주어진 행렬은 A=[[1,2],[0,1]], B=[[2,0],[3,1]]이고 AB를 구하는 문제인데, 조건과 계산 근거가 드러나지 않은 채 AB=[[2,0],[0,1]]이라고 적은 셈이다. 이 결과는 두 행렬의 같은 위치에 있는 수를 곱해 만든 것처럼 보이므로, 행렬 곱의 규칙을 성분별 곱으로 이해했는지 확인할 필요가 있다.

주어진 행렬의 행과 열을 먼저 표시하기

AB에서 첫 번째 성분은 A의 첫째 행과 B의 첫째 열을 대응시켜 계산한다. 따라서 (1,1)성분은 1·2+2·3=8이다. 같은 방식으로 (1,2)성분은 A의 첫째 행과 B의 둘째 열을 사용하여 1·0+2·1=2가 된다. 둘째 행까지 이어 가면 (2,1)성분은 0·2+1·3=3, (2,2)성분은 0·0+1·1=1이다. 여기서 괄호 안 목록은 각각 한 행이며, 왼쪽 행렬의 열 개수와 오른쪽 행렬의 행 개수가 맞아야 곱을 계산할 수 있다. 행과 열의 위치를 표시하지 않은 채 숫자만 옮겼다면, 어느 단계에서 대응이 바뀌었는지 되짚어야 한다.

오답의 원인을 확인하고 학생이 직접 수정하기

배움노트 고등수학 수업 수업에서는 오답 하나만 보고 원인을 단정하지 않는다. “AB의 (1,1)성분은 A의 어느 행과 B의 어느 열로 계산하는가?”라고 묻고, 학생이 직접 해당 행과 열에 표시하게 한다. 학생이 A의 첫째 행과 B의 첫째 열을 고른다면 두 수의 곱을 더해야 하는지, 같은 위치의 성분만 곱하는지 말로 구분해 보게 한다. 첫 계산은 1·2+2·3으로 적고, 중간 결과를 함께 확인한 뒤 최종 판단은 학생이 문장으로 쓴다. 이어 각 행과 열을 대응하여 AB=[[8,2],[3,1]]로 수정한다. 첫 열은 B의 열벡터 (1,0)에 먼저 B를 적용하고 그 결과에 A를 적용한다고 생각할 때 (8,3)이 되므로, AB의 첫 열 [[8],[3]]과 일치한다. 이는 첫 성분만 우연히 맞춘 것이 아니라 행렬 곱의 순서와 성분 계산이 함께 맞는지 확인하는 방법이다.

풀이와 정답을 가린 상태에서 순서를 바꿔 점검하기

다음에는 문제와 필수 조건만 남긴다. A=[[1,2],[0,1]], B=[[2,0],[3,1]]일 때 BA를 구하고 AB와 비교하되, 앞서의 풀이·정답·유도 과정은 보이지 않게 한 상태에서 시작한다. 학생은 먼저 곱의 순서가 BA로 바뀌었다는 조건을 표시하고, B의 각 행과 A의 각 열을 대응해야 한다. 첫째 행 (2,0)을 A의 첫째 열과 곱하면 2, 둘째 열과 곱하면 4가 되고, 둘째 행 (3,1)에서는 각각 3과 7이 나온다. 따라서 BA=[[2,4],[3,7]]이며, 앞에서 구한 AB=[[8,2],[3,1]]과 다르다. 두 행렬은 (1,1)성분만 비교해도 2와 8로 달라 같지 않음을 확인할 수 있다. 표현만 바뀐 문제가 아니라 곱의 순서라는 실제 조건이 바뀐 것이므로, 다음 계산에서도 먼저 조건을 표시하고 한 성분의 행과 열을 선택하는 습관을 이어 간다.