서북구 고등수학과외

등차수열에서 항 번호가 달라지면 첫째항에서 몇 번 공차를 더했는지도 함께 달라진다. 예를 들어 세 번째 항에서 일곱 번째 항으로 갈 때 항 번호 차이는 7−3=4이다. 따라서 두 항의 차를 공차로 나눌 때 분모를 항 번호 자체로 두면 안 된다. 이 경계값을 놓치면 계산 결과가 그럴듯해 보여도 주어진 두 조건을 동시에 만족하지 못한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 먼저 번호 사이의 이동 횟수를 표시한 뒤 식을 세우도록 확인한다.

7에서 19까지의 차가 뜻하는 것 확인하기

문제는 n≥1인 등차수열에서 a₃=7, a₇=19일 때 a₁과 공차 d를 구하는 것이다. 이렇게 답했다면, d=(19−7)/7=12/7이라는 풀이가 나온다. 그러나 이 식은 세 번째 항에서 일곱 번째 항까지의 변화가 일곱 번 일어났다고 본 셈이다. 실제로 3→4, 4→5, 5→6, 6→7의 네 번만 공차가 더해진다. 다만 이 한 오답만으로 공차의 뜻을 모른다고 확정하지는 않는다. “세 번째에서 일곱 번째까지 항 번호 차이는 얼마인가?”라고 묻고, 학생이 7−3을 직접 계산해 표시하게 한다. 이어 12를 4로 나눈 값과 7로 나눈 값을 각각 원래 조건에 대입해 어느 값이 성립하는지 대조하게 하면 번호 혼동과 공차 개념의 혼동을 나누어 볼 수 있다.

일반항으로 이동 횟수와 시작 항을 함께 역산하기

등차수열의 일반항은 aₙ=a₁+(n−1)d이며, n은 1 이상의 정수이다. 여기서 n−1은 첫째항부터 해당 항까지 공차를 더한 횟수다. 따라서 a₇−a₃는 [a₁+6d]−[a₁+2d]로 정리되어 4d가 된다. 주어진 값으로 쓰면 19−7=4d이므로 d=3이다. 이제 세 번째 항은 첫째항에서 두 번 이동한 값이므로 7=a₁+2·3, 이에 따라 a₁=1이다. 학생이 직접 수정한 풀이는 d=3, a₁=a₃−2d=1이다. 검산에서는 a₃=1+2·3=7, a₇=1+6·3=19를 각각 계산해 두 조건을 모두 확인한다. 식의 결과와 문제의 성립 여부는 따로 적어, 계산값만 맞고 조건을 놓치는 일이 없게 한다.

표현이 바뀌어도 네 번의 이동을 다시 표시하기

이번에는 a₁=3이고 공차가 2인 등차수열에서 a₅를 구한다. 항 번호는 n≥1이다. 문제의 풀이와 정답을 미리 보지 않은 상태에서 학생이 1→5 사이의 이동을 직접 표시하도록 한다. 1에서 2, 2에서 3, 3에서 4, 4에서 5로 네 번 이동하므로 a₅=3+(5−1)·2=11이다. 처음 항부터 쓰면 3, 5, 7, 9, 11이 되어 같은 결과를 확인할 수 있다. 이는 앞의 역산 문제와 표현은 다르지만 항 번호 차만큼 공차를 더한다는 원리는 같다. 다음 점검에서는 문제와 조건, 필요한 수열 자료와 검산 방법만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린다. 학생이 시작 항이 바뀐 역산을 스스로 구성해 계산한 뒤 검산 결과와 맞추는지 살핀다. 일반항만 기억하고 이동 횟수를 놓치면 첫 세 항을 직접 써서 시작 번호와 증가 횟수를 다시 맞춘다.