둔산신도시 수학과외

0.12라는 오답에서 확인할 판단

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “서로 배반인 사건 A, B의 확률이 각각 0.3, 0.4일 때 합사건 A∪B의 확률은?” 학생이 0.12라고 썼다면 먼저 답만 보고 원인을 단정하지 않습니다. 0.12는 0.3×0.4로 계산한 값이므로 두 사건이 함께 일어날 확률을 구하는 곱셈 형태와 연결됩니다. 그러나 이 문제는 A와 B가 서로 배반이라고 했습니다. 서로 배반이라는 말은 두 사건에 공통으로 포함되는 결과가 없어서 A와 B가 동시에 일어날 수 없다는 뜻입니다. 따라서 학생이 두 확률을 곱한 이유가 조건을 잘못 읽은 것인지, 합사건과 교집합을 혼동한 것인지, 계산 과정에서 기호를 잘못 사용한 것인지는 풀이를 다시 살펴보며 구분해야 합니다.

교사는 “A와 B가 동시에 일어나는 결과가 있나요?”, “A 또는 B가 일어난다는 말과 A와 B가 함께 일어난다는 말은 어떻게 다른가요?”라고 묻습니다. 학생이 말로 설명하기 어렵다면 A와 B를 각각 선택하는 상황으로 나누어, 겹치는 결과가 있는지부터 함께 확인합니다. 이때 조건을 알고 난 뒤 가능한 전체 경우가 달라지는 문제인지도 살펴봅니다. 이 문제에서는 새로운 조건부 확률을 계산하는 것이 아니라, 이미 주어진 배반 조건에 따라 두 사건의 범위를 겹치지 않게 합치는 것이 핵심입니다.

겹침이 없다는 조건으로 다시 세우는 풀이

교사는 대표 문제의 “서로 배반”이라는 조건에 밑줄을 긋고, 합사건 A∪B가 A 또는 B가 일어나는 경우를 뜻한다고 설명합니다. A와 B에 공통 결과가 없다면 A에서 0.3, B에서 0.4만큼의 확률을 각각 세고 중복해서 빼거나 더할 부분이 없습니다. 그러므로 P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7입니다. 여기서 0.3과 0.4는 각각 사건 A와 사건 B의 확률이고, 최종적으로 구하는 0.7은 A 또는 B가 일어나는 합사건의 확률입니다. 0.12를 합사건의 답으로 사용할 수 없는 이유는 곱셈 결과가 이 문제에서 요구한 ‘또는’의 확률을 나타내지 않기 때문입니다.

설명을 들은 뒤에는 풀이와 정답을 가리고 문제와 조건만 보여 준 상태에서 학생이 다시 시작하도록 합니다. 학생은 먼저 “배반이므로 겹치는 부분이 없다”고 적고, 이어서 P(A∪B)=0.3+0.4를 세웁니다. 처음의 0.12에서 어떤 판단을 바꾸었는지 문제의 조건과 연결해, 두 사건이 함께 일어나는 경우를 구한 것이 아니라 둘 중 하나가 일어나는 경우를 구해야 했다고 정리합니다. 계산에서 막히면 교사가 덧셈식을 한 단계 함께 쓴 뒤, 학생이 0.7이라는 결론을 직접 완성하게 합니다.

여사건으로 결과를 확인하는 방법

검산은 같은 덧셈을 반복하는 대신, A와 B가 모두 일어나지 않는 여사건을 이용합니다. 두 사건이 배반이고 합사건의 확률이 0.7이라면 A도 B도 일어나지 않을 확률은 1-0.7=0.3입니다. 반대로 합사건의 확률과 여사건의 확률을 더하면 0.7+0.3=1이 되어 전체 확률과 맞습니다. 이 과정에서도 배반 조건 때문에 A와 B가 겹치는 부분이 없다는 점을 다시 확인할 수 있습니다. 학생이 풀이 순서만 따라 썼다면 수정 풀이를 가린 뒤 같은 문제를 다시 풀게 하고, 0.7의 의미를 설명하는지까지 확인합니다.

주사위 문제에 적용하고 다음 조건을 비교하기

새 문제에서는 공정한 주사위 한 개를 던질 때 A는 1 이하, B는 5 이상인 사건이라고 하겠습니다. 가능한 눈은 1부터 6까지이므로 A={1}, B={5,6}입니다. A와 B에는 공통 눈이 없어 서로 배반이므로 A 또는 B의 확률은 1/6+2/6=3/6=1/2입니다. 기본 문제에서 사용한 ‘겹침이 없으면 확률을 더한다’는 방법을 그대로 적용할 수 있지만, 먼저 각 사건에 실제로 어떤 눈이 포함되는지 확인해야 합니다.

추가 비교가 필요하다면 주사위에서 A={1,2,3}, B={3,4}인 경우를 살펴볼 수 있습니다. 이번에는 공통 결과 3이 있으므로 두 확률을 그대로 더하면 3/6을 중복해서 세게 됩니다. 따라서 P(A∪B)=3/6+2/6-1/6=4/6입니다. 이 비교는 단순한 덧셈이 모든 사건에 적용되는 것이 아니라, 겹치는 결과가 없는 배반 사건일 때만 바로 사용할 수 있음을 확인하는 자료입니다. 다음 수업에서는 학생이 문제의 조건을 가린 풀이가 아니라 문제만 보고, 사건의 공통 결과를 먼저 판단한 뒤 새로운 조건에도 같은 근거를 적용하는지를 확인합니다.