변동 수학과외

제곱식으로 착각한 대표 문제

다음 문제에서 학생이 x²-9를 인수분해하라는 질문에 “(x-3)²이다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 이 답은 (x-3)(x-3)을 전개한 식이므로 x²-6x+9가 됩니다. 원래 식 x²-9에는 x항이 없고 상수항은 -9이므로 두 식은 같지 않습니다. 여기서 먼저 확인할 것은 숫자 3을 사용했는지가 아니라, 원식의 두 항을 어떤 곱의 구조로 바꾸어야 하는가입니다.

어느 판단에서 어긋났는지 확인하기

교사는 곧바로 계산 실수라고 단정하지 않고 “(x-3)²를 다시 전개하면 가운데 항은 무엇이 되나요?”라고 묻습니다. 학생이 -6x가 생긴다는 점은 말하지만 왜 원래 식에는 그 항이 없어야 하는지 연결하지 못한다면, 전개 계산보다 곱셈공식의 조건을 먼저 살핍니다. 제곱식 (a-b)²는 a²-2ab+b²처럼 가운데 항이 생기는 구조입니다. 따라서 x²-9처럼 두 제곱의 차로 보이는 식에는 같은 항을 두 번 곱하는 제곱식을 바로 적용할 수 없습니다.

이번 식에서는 9가 3²이고 x²도 제곱수이므로 x²-9=x²-3²로 읽을 수 있습니다. 두 제곱의 차를 합과 차의 곱으로 바꾸는 조건은 a²-b²=(a-b)(a+b)입니다. 이 조건을 적용하면 x²-3²=(x-3)(x+3)이 됩니다. 다만 이 판단은 두 항이 실제로 제곱수의 차로 표현될 때 사용하는 것이며, 모든 식에 숫자만 맞추어 적용하는 규칙은 아닙니다.

교사의 설명 뒤 수정 풀이

교사는 먼저 9를 3²로 바꾸는 부분까지 함께 적고, 합과 차의 인수 중 하나를 직접 보여 줍니다. 이어서 학생이 나머지 인수를 완성하도록 “두 괄호를 전개했을 때 x항이 없어지려면 두 부호가 어떻게 달라야 할까요?”라고 안내합니다. 학생은 처음의 (x-3)²에서 같은 괄호를 두 번 쓰는 판단을 바꾸어, 한 괄호에는 차인 x-3을 쓰고 다른 괄호에는 합인 x+3을 씁니다. 따라서 수정된 답은 (x-3)(x+3)입니다.

이때 학생이 설명을 이어 가지 못하면 교사는 (x-3)(x+3)의 앞부분인 x²와 마지막 부분인 -9가 어떻게 만들어지는지 한 단계 보여 준 뒤, 가운데 항인 +3x와 -3x가 왜 서로 없어지는지는 학생이 다시 계산하게 합니다. 인수분해는 표시한 공식의 이름을 기억하는 데서 끝나지 않고, 만든 곱을 전개했을 때 원래 식으로 돌아오는지 확인해야 완성됩니다.

전개 검산과 새 조건에 적용하기

수정 풀이를 가린 뒤 학생이 문제와 조건만 보고 다시 시작하도록 합니다. (x-3)(x+3)을 전개하면 x²+3x-3x-9가 되고, 중간항이 없어져 x²-9가 됩니다. 따라서 원래 식의 계수와 상수항이 모두 일치합니다. 이 검산에서 학생이 같은 답을 베껴 쓰는 것이 아니라, 왜 부호가 서로 달라야 하는지와 -9가 3²의 차에서 나온 값인지 설명하는지를 확인합니다. 막히면 공식의 의미가 필요한지, 부호 계산에서 막혔는지를 나누어 다음 도움의 양을 조절합니다.

새 적용 문제로는 x²-49를 인수분해하라를 제시할 수 있습니다. 이번에는 49=7²이므로 x²-49=x²-7²입니다. 기본 문제와 숫자만 달라졌지만 두 제곱의 차라는 조건은 같으므로 이전 방법을 그대로 사용할 수 있습니다. 답은 (x-7)(x+7)이고, 전개하면 x²+7x-7x-49=x²-49가 됩니다.

추가로 상수항의 곱만 맞추면 충분한지 확인하고 싶을 때는 x²+11x+30을 (x-5)(x-6)으로 나타낼 수 있는지 살펴봅니다. 두 상수의 곱은 30이지만 이 곱을 전개하면 일차항이 -11x가 되어 원식의 +11x와 맞지 않습니다. 올바른 인수분해는 (x+5)(x+6)입니다. 다음 확인에서는 학생이 새 문제를 정답과 해설을 가린 상태에서 스스로 풀고, 인수분해한 식을 다시 전개해 근거를 설명하는지를 봅니다.